Verifique se as funções abaixo são produtos internos em
:
f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}.
f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Lembrando que para isso temos de checar três propriedades: simetria, bilinearidade (linearidade em cada argumento) e positividade definida.
Passo 2
Verificamos a simetria, ou seja,
e trocando os papéis,
Logo
, ou seja,
é simétrica.
Passo 3
Agora checamos a bilinearidade. Sejam
Para aditividade em relação ao primeiro argumento:
Para homogeneidade em relação ao primeiro argumento:
Como
é simétrica, a linearidade no segundo argumento segue imediatamente. Portanto
é bilinear.
Passo 4
Finalmente, positividade definida: para
vale
Como
e
, segue
. E
se e só se
e
, ou seja,
. Assim a positividade é estrita.
Resposta
Sim,
é produto interno em
.