Verifique se as funções abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2} :
f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\colon \mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, \quad f\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}
é um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Lembrando que para isso temos de checar três propriedades: simetria, bilinearidade (linearidade em cada argumento) e positividade definida.

Passo 2

Verificamos a simetria, ou seja,
f\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr) = x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}
e trocando os papéis,
f\bigl((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})\bigr) = x_{2}x_{1}+3y_{2}y_{1} = x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}.
Logo f(u,v)=f(v,u), ou seja, f é simétrica.

Passo 3

Agora checamos a bilinearidade. Sejam
u=(x_{1},y_{1}),\quad v=(x_{2},y_{2}),\quad w=(x_{3},y_{3}),\quad \lambda\in\mathbb{R}.
Para aditividade em relação ao primeiro argumento:
f(u+v,w) =(x_{1}+x_{2})x_{3}+3(y_{1}+y_{2})y_{3} =x_{1}x_{3}+3y_{1}y_{3}+x_{2}x_{3}+3y_{2}y_{3} =f(u,w)+f(v,w).
Para homogeneidade em relação ao primeiro argumento:
f(\lambda u,w) =(\lambda x_{1})x_{3}+3(\lambda y_{1})y_{3} =\lambda\bigl(x_{1}x_{3}+3y_{1}y_{3}\bigr) =\lambda\,f(u,w).
Como f é simétrica, a linearidade no segundo argumento segue imediatamente. Portanto f é bilinear.

Passo 4

Finalmente, positividade definida: para u=(x,y) vale
f(u,u)=x^{2}+3y^{2}.
Como x^{2}\ge0 e 3y^{2}\ge0, segue f(u,u)\ge0. E f(u,u)=0 se e só se x^{2}=0 e y^{2}=0, ou seja, u=(0,0). Assim a positividade é estrita.

Resposta

Sim, f é produto interno em \mathbb{R}^{2}.

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