Considere o produto interno em \mathbb{R}^{2} dado por \left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}.
Verifique se os vetores (2,1) e (-1,-2) são ortogonais;

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 o produto interno
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = 2\,x_{1}x_{2} + 3\,y_{1}y_{2}
e pede para verificar se os vetores (2,1) e (-1,-2) são ortogonais. Vamos usar a definição: dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero.

Passo 2

Segundo a definição, (2,1) e (-1,-2) são ortogonais se e somente se
\langle(2,1),(-1,-2)\rangle = 0.

Passo 3

Calculamos o produto interno:
\langle(2,1),(-1,-2)\rangle = 2\cdot 2\cdot(-1) \;+\; 3\cdot 1\cdot(-2) = -4 \;+\; (-6) = -10.

Passo 4

Como -10 \neq 0, concluímos que os vetores não são ortogonais.

Resposta

Os vetores (2,1) e (-1,-2) não são ortogonais, pois \langle(2,1),(-1,-2)\rangle = -10.

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