Verifique se são subespaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
Pergunta: verificar se
é um subespaço vetorial (do espaço de matrizes
). As informações relevantes são:
- Os elementos de
são matrizes parametrizadas por e reais. - Não há mais restrições além de
.]
Passo 2
Vamos lembrar de forma clara o que precisa ser verificado para
ser subespaço vetorial:
-
não pode ser vazio (costumamos verificar se a matriz nula pertence a ). -
deve ser fechado sob soma: se e então . -
deve ser fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Vou aplicar esses três testes passo a passo. Isso é a forma mais direta e segura de provar que um conjunto é subespaço.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (conter a matriz zero).
Escolhendo e
obtemos a matriz
Escolhendo
que é a matriz nula. Logo, a matriz nula pertence a
. Portanto
não é vazio.]
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
Sejam
com
.
Somando componente a componente:
Somando componente a componente:
Agrupando:
Agora note que isso é exatamente uma matriz do mesmo formato, com parâmetros
e
. Ou seja,
. Assim
é fechado sob soma.]
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
e
. Então
Reescrevendo:
Isto mostra que
é do mesmo formato, com novos parâmetros
e
. Portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação escalar.]
Passo 6
Conclusão dos três testes:
contém a matriz nula, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Logo
é um subespaço vetorial de
.
Além disso, para entender melhor a estrutura de
, observe que toda matriz de
pode ser escrita como combinação linear
Chamando
temos
. Isso explica por que
é subespaço: é o espaço gerado por dois vetores (matrizes) fixos.
Se quiser, dá para verificar que
e
são linearmente independentes (suponha
e verifique que
), o que mostra que
. (Essa verificação é direta comparando entradas.)]
Resposta
Sim.
é um subespaço vetorial de
; além disso
e
.]