Verifique se são subespaços vetoriais:
A=\{[a \mathrm{a}+\mathrm{b} ; \mathrm{a}-\mathrm{b} \mathrm{b}] ; \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\left\{\begin{pmatrix}a & a+b\\[4pt] a-b & b\end{pmatrix}\;:\;a,b\in\mathbb{R}\right\}.
Pergunta: verificar se A é um subespaço vetorial (do espaço de matrizes M_{2\times2}(\mathbb{R})). As informações relevantes são:
  • Os elementos de A são matrizes 2\times2 parametrizadas por a e b reais.
  • Não há mais restrições além de a,b\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Vamos lembrar de forma clara o que precisa ser verificado para A ser subespaço vetorial:
  1. A não pode ser vazio (costumamos verificar se a matriz nula pertence a A).
  2. A deve ser fechado sob soma: se X\in A e Y\in A então X+Y\in A.
  3. A deve ser fechado sob multiplicação escalar: se X\in A e c\in\mathbb{R} então cX\in A.
Vou aplicar esses três testes passo a passo. Isso é a forma mais direta e segura de provar que um conjunto é subespaço.

Passo 3

Verificar que A não é vazio (conter a matriz zero).
Escolhendo a=0 e b=0 obtemos a matriz
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é a matriz nula. Logo, a matriz nula pertence a A. Portanto A não é vazio.]

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam
X=\begin{pmatrix}a_1 & a_1+b_1\\[4pt] a_1-b_1 & b_1\end{pmatrix}\in A \quad\text{e}\quad Y=\begin{pmatrix}a_2 & a_2+b_2\\[4pt] a_2-b_2 & b_2\end{pmatrix}\in A,
com a_1,b_1,a_2,b_2\in\mathbb{R}.
Somando componente a componente:
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & (a_1+b_1)+(a_2+b_2)\\[4pt] (a_1-b_1)+(a_2-b_2) & b_1+b_2\end{pmatrix}.
Agrupando:
X+Y = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & (a_1+a_2)+(b_1+b_2)\\[4pt] (a_1+a_2)-(b_1+b_2) & b_1+b_2\end{pmatrix}.
Agora note que isso é exatamente uma matriz do mesmo formato, com parâmetros a=a_1+a_2 e b=b_1+b_2. Ou seja, X+Y\in A. Assim A é fechado sob soma.]

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja X=\begin{pmatrix}a & a+b\\[4pt] a-b & b\end{pmatrix}\in A e c\in\mathbb{R}. Então
cX = \begin{pmatrix}c a & c(a+b)\\[4pt] c(a-b) & c b\end{pmatrix}.
Reescrevendo:
cX = \begin{pmatrix}c a & (c a)+(c b)\\[4pt] (c a)-(c b) & c b\end{pmatrix}.
Isto mostra que cX é do mesmo formato, com novos parâmetros a'=c a e b'=c b. Portanto cX\in A. Assim A é fechado sob multiplicação escalar.]

Passo 6

Conclusão dos três testes: A contém a matriz nula, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Logo A é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Além disso, para entender melhor a estrutura de A, observe que toda matriz de A pode ser escrita como combinação linear
\begin{pmatrix}a & a+b\\[4pt] a-b & b\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Chamando
U=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},
temos A=\operatorname{span}\{U,V\}. Isso explica por que A é subespaço: é o espaço gerado por dois vetores (matrizes) fixos.
Se quiser, dá para verificar que U e V são linearmente independentes (suponha \alpha U+\beta V=0 e verifique que \alpha=\beta=0), o que mostra que \dim A=2. (Essa verificação é direta comparando entradas.)]

Resposta

Sim. A é um subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}); além disso A=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}\right\} e \dim A=2.]

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