Considere o produto interno usual. Determine
e o tamanho da “sombra” de
sobre
, onde:
e
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede duas coisas:
- A projeção de
sobre , ou seja . - O tamanho da “sombra” de
sobre , isto é o comprimento (norma) do vetor projeção .
As informações relevantes são apenas as coordenadas de
e
.
Passo 2
Relembrando a definição necessária (passo-a-passo e sem pular etapas):
- Produto interno (produto escalar) entre dois vetores
e no espaço usual é
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores.
- A projeção de
sobre (vetorial) é dada pela fórmula
Nessa fórmula
é o produto escalar entre
e
, e
é o quadrado da norma de
. O fator
é um escalar que diz quanto de
aparece na direção de
.
- A norma (comprimento) de um vetor
é
O “tamanho da sombra” pedido é
.
Passo 3
Calculemos primeiro o produto escalar
. Usando a definição:
Agora fazemos as contas:
,
,
. Somando:
Interpretação imediata (só explicar, sem finalizar ainda): quando o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais; isso já sugere que a projeção pode ser o vetor nulo, mas vamos concluir com a fórmula.
Passo 4
Calculemos
(o denominador da fórmula):
Agora aplicamos a fórmula da projeção:
Como o numerador é
, obtemos
Portanto a projeção vetorial é o vetor nulo. Isso confirma a interpretação geométrica:
é ortogonal a
, logo sua “sombra” sobre
é nula.
Passo 5
Agora encontramos o tamanho (norma) da sombra, que é a norma de
. Para o vetor nulo:
Podemos também relacionar isso ao componente escalar de
na direção de
, que é
; como
, esse componente escalar também é
, consistente com a norma da projeção ser zero.