Considere o produto interno usual. Determine \operatorname{proj}_{u} v e o tamanho da “sombra” de v sobre u, onde:
u=(1,1,-1) e v=(2,1,3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,1,-1) e v=(2,1,3) e pede duas coisas:
  1. A projeção de v sobre u, ou seja \operatorname{proj}_{u} v.
  2. O tamanho da “sombra” de v sobre u, isto é o comprimento (norma) do vetor projeção \operatorname{proj}_{u} v.
As informações relevantes são apenas as coordenadas de u e v.

Passo 2

Relembrando a definição necessária (passo-a-passo e sem pular etapas):
  • Produto interno (produto escalar) entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) no espaço usual é
\langle a,b\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Aqui cada a_i e b_i é a componente correspondente dos vetores.
  • A projeção de v sobre u (vetorial) é dada pela fórmula
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\, u.
Nessa fórmula \langle v,u\rangle é o produto escalar entre v e u, e \langle u,u\rangle é o quadrado da norma de u. O fator \dfrac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle} é um escalar que diz quanto de u aparece na direção de v.
  • A norma (comprimento) de um vetor w=(w_1,w_2,w_3) é
\|w\| = \sqrt{\langle w,w\rangle} = \sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
O “tamanho da sombra” pedido é \|\operatorname{proj}_{u} v\|.

Passo 3

Calculemos primeiro o produto escalar \langle v,u\rangle. Usando a definição:
\langle v,u\rangle = 2\cdot 1 + 1\cdot 1 + 3\cdot(-1).
Agora fazemos as contas: 2\cdot 1 = 2, 1\cdot 1 = 1, 3\cdot(-1) = -3. Somando:
\langle v,u\rangle = 2 + 1 - 3 = 0.
Interpretação imediata (só explicar, sem finalizar ainda): quando o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais; isso já sugere que a projeção pode ser o vetor nulo, mas vamos concluir com a fórmula.

Passo 4

Calculemos \langle u,u\rangle (o denominador da fórmula):
\langle u,u\rangle = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3.
Agora aplicamos a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\, u = \frac{0}{3}\, u.
Como o numerador é 0, obtemos
\operatorname{proj}_{u} v = 0\cdot u = (0,0,0).
Portanto a projeção vetorial é o vetor nulo. Isso confirma a interpretação geométrica: v é ortogonal a u, logo sua “sombra” sobre u é nula.

Passo 5

Agora encontramos o tamanho (norma) da sombra, que é a norma de \operatorname{proj}_{u} v. Para o vetor nulo:
\|\operatorname{proj}_{u} v\| = \|(0,0,0)\| = \sqrt{0^2+0^2+0^2} = 0.
Podemos também relacionar isso ao componente escalar de v na direção de u, que é \dfrac{\langle v,u\rangle}{\|u\|}; como \langle v,u\rangle=0, esse componente escalar também é 0, consistente com a norma da projeção ser zero.

Resposta

\operatorname{proj}_{u} v = (0,0,0)
\|\operatorname{proj}_{u} v\| = 0

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