Considere o produto interno usual. Determine
e o tamanho da “sombra” de
sobre
, onde:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) a projeção de
sobre
, escrita
; (2) o tamanho da “sombra” de
sobre
, isto é, o comprimento (norma) da projeção.
Dados fornecidos: e
.
Dados fornecidos:
Passo 2
Lembra do produto interno (produto escalar) em
: para
e
,
Vou usar isso para calcular
. Aplicando com
e
:
Isso significa que, em média,
tem componente negativa ao longo de
(aponta contrário a
).
Passo 3
Também precisamos da norma ao quadrado de
, que é
. Calculo:
E a norma de
é
Passo 4
A fórmula da projeção de
sobre
(quando usamos o produto interno usual) é
Aqui
é um escalar que diz quanto multiplicar o vetor
. Substituindo
e
:
Multiplicando esse escalar por
obtemos a projeção:
Passo 5
O tamanho (comprimento) da sombra é a norma do vetor projeção
. Podemos calcular direto:
Outra forma equivalente (útil na prova) é lembrar a fórmula da componente escalar: o comprimento da projeção é
o que confirma o cálculo anterior. Note que o sinal negativo de
apenas indica que a projeção aponta no sentido oposto a
; o comprimento é sempre positivo.
Passo 6
Dica rápida para prova: calcule primeiro
e
. O escalar
dá diretamente
. Para o comprimento, use
. Isso evita fazer várias raízes desnecessárias durante a prova.