Considere o produto interno usual. Determine \operatorname{proj}_{u} v e o tamanho da “sombra” de v sobre u, onde:
u=(1,1) e v=(0,-1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a projeção de v sobre u, escrita \operatorname{proj}_{u} v; (2) o tamanho da “sombra” de v sobre u, isto é, o comprimento (norma) da projeção.
Dados fornecidos: \;u=(1,1)\; e \;v=(0,-1).

Passo 2

Lembra do produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^2: para a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2),
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Vou usar isso para calcular u\cdot v. Aplicando com u=(1,1) e v=(0,-1):
u\cdot v = 1\cdot 0 + 1\cdot(-1) = 0 - 1 = -1.
Isso significa que, em média, v tem componente negativa ao longo de u (aponta contrário a u).

Passo 3

Também precisamos da norma ao quadrado de u, que é \|u\|^2 = u\cdot u. Calculo:
\|u\|^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2.
E a norma de u é
\|u\| = \sqrt{2}.

Passo 4

A fórmula da projeção de v sobre u (quando usamos o produto interno usual) é
\operatorname{proj}_{u} v = \frac{u\cdot v}{\|u\|^2}\; u.
Aqui \frac{u\cdot v}{\|u\|^2} é um escalar que diz quanto multiplicar o vetor u. Substituindo u\cdot v = -1 e \|u\|^2 = 2:
\frac{u\cdot v}{\|u\|^2} = \frac{-1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Multiplicando esse escalar por u=(1,1) obtemos a projeção:
\operatorname{proj}_{u} v = -\tfrac{1}{2}\,(1,1) = \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

O tamanho (comprimento) da sombra é a norma do vetor projeção \operatorname{proj}_{u} v. Podemos calcular direto:
\|\operatorname{proj}_{u} v\| = \sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Outra forma equivalente (útil na prova) é lembrar a fórmula da componente escalar: o comprimento da projeção é
\frac{|u\cdot v|}{\|u\|} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \tfrac{1}{\sqrt{2}},
o que confirma o cálculo anterior. Note que o sinal negativo de u\cdot v apenas indica que a projeção aponta no sentido oposto a u; o comprimento é sempre positivo.

Passo 6

Dica rápida para prova: calcule primeiro u\cdot v e \|u\|^2. O escalar \alpha=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|^2} dá diretamente \operatorname{proj}_u v=\alpha u. Para o comprimento, use \|\operatorname{proj}_u v\|=|\alpha|\|u\|=\dfrac{|u\cdot v|}{\|u\|}. Isso evita fazer várias raízes desnecessárias durante a prova.

Resposta

\operatorname{proj}_{u} v = \left(-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right)
\text{tamanho da sombra} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}

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