Considere o produto interno usual em P_{2}(\mathbb{R}):\langle p, q\rangle=a_{2} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{0} b_{0}, onde p= a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} e q=b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}. Dados os polinômios p_{1}=x^{2}-2 x+3, p_{2}=3 x-4 e p_{3}=1-x^{2}, calcular:
(a) \left\langle p_{1}, p_{2}\right\rangle
(b) \left\|p_{1}\right\| e \left\|p_{3}\right\|
(c) \left\|p_{1}+p_{2}\right\|
(d) \frac{p_{2}}{\left\|p_{2}\right\|}

Passo 1

O produto interno usual em P_{2}(\mathbb{R}) é dado por
\langle p,q\rangle = a_{2}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{0}b_{0},
onde p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} e q(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}. A norma associada é
\|p\| = \sqrt{\langle p,p\rangle} = \sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}+a_{0}^{2}}.
Vamos extrair os coeficientes de
p_{1}=x^{2}-2x+3,\quad p_{2}=3x-4,\quad p_{3}=1-x^{2}
e aplicar essas definições.

Passo 2

Para \langle p_{1},p_{2}\rangle temos os coeficientes
p_{1}:\;(a_{2},a_{1},a_{0})=(1,\,-2,\,3), \quad p_{2}:\;(b_{2},b_{1},b_{0})=(0,\,3,\,-4).
Logo,
\langle p_{1},p_{2}\rangle =1\cdot0 + (-2)\cdot3 + 3\cdot(-4) =-6 -12 =-18.

Passo 3

Usando \|p\|=\sqrt{a_{2}^{2}+a_{1}^{2}+a_{0}^{2}}, calculamos
\|p_{1}\| = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14},
\|p_{3}\| = \sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Primeiro formamos p_{1}+p_{2}:
p_{1}+p_{2}= (x^{2}-2x+3)+(3x-4)=x^{2}+x-1.
Então
\|p_{1}+p_{2}\| =\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}} =\sqrt{1+1+1} =\sqrt{3}.

Passo 5

Para normalizar p_{2}, precisamos de \|p_{2}\|:
\|p_{2}\| = \sqrt{0^{2}+3^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5.
Assim,
\frac{p_{2}}{\|p_{2}\|} = \frac{3x-4}{5} = \frac{3}{5}x - \frac{4}{5}.

Resposta

(a) \langle p_{1},p_{2}\rangle = -18.
(b) \|p_{1}\| = \sqrt{14}, \|p_{3}\| = \sqrt{2}.
(c) \|p_{1}+p_{2}\| = \sqrt{3}.
(d) \dfrac{p_{2}}{\|p_{2}\|} = \dfrac{3}{5}x - \dfrac{4}{5}.

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