Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in \mathbb{R}^{3}.Verifique quais das seguintes funções \langle\rangle:, \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle=x_{1} x_{2}+3 y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle v_{1},v_{2}\rangle = x_{1}x_{2} + 3\,y_{1}y_{2}
em \mathbb{R}^{3} satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. Simetria: \langle v_{1},v_{2}\rangle = \langle v_{2},v_{1}\rangle.
  2. Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento).
  3. Positividade definida: \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq 0.

Passo 2

Verificamos cada propriedade:
  1. Simetria:
    \langle v_{1},v_{2}\rangle = x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2} = x_{2}x_{1}+3y_{2}y_{1} = \langle v_{2},v_{1}\rangle.
  2. Bilinearidade:
    Claramente é linear em v_{1} (e análoga em v_{2}) pois é soma de produtos escalares das coordenadas.
  3. Positividade definida:
    Para v=(x,y,z) temos
\langle v,v\rangle = x^{2} + 3y^{2}.
Se v\neq 0 mas x=0 e y=0, isto é, v=(0,0,z) com z\neq 0, então
\langle v,v\rangle = 0 apesar de v\neq 0.
Como falha a positividade estrita, não é produto interno.

Resposta

A aplicação não define um produto interno, pois \langle v,v\rangle pode ser zero mesmo com v\neq 0.

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