Sejam
.Verifique quais das seguintes funções
definem um produto interno:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- Simetria:
. - Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento).
- Positividade definida:
para todo .
Passo 2
Verificamos cada propriedade:
- Simetria:
. - Bilinearidade:
Claramente é linear em(e análoga em ) pois é soma de produtos escalares das coordenadas. - Positividade definida:
Paratemos
Se
mas
e
, isto é,
com
, então
apesar de
.
Como falha a positividade estrita, não é produto interno.
Resposta
A aplicação não define um produto interno, pois
pode ser zero mesmo com
.