Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \in \mathbb{R}^{3}.Verifique quais das seguintes funções \langle\rangle:, \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} definem um produto interno:
\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle=2 x_{1}^{2} y_{1}^{2}+3 x_{2}^{2} y_{2}^{2}+z_{1}^{2} z_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
\langle v_{1},v_{2}\rangle \;=\;2x_{1}^{2}y_{1}^{2}\;+\;3x_{2}^{2}y_{2}^{2}\;+\;z_{1}^{2}z_{2},
para v_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e v_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}) em \mathbb{R}^{3}, satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. Simetria: \langle v_{1},v_{2}\rangle=\langle v_{2},v_{1}\rangle.
  2. Bilinearidade no primeiro (e segundo) argumento.
  3. Positividade definida: \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq0 e \langle v,v\rangle=0 sse v=0.

Passo 2

Testando a simetria, calculamos
\langle v_{2},v_{1}\rangle =2x_{2}^{2}y_{2}^{2} +3x_{1}^{2}y_{1}^{2} +z_{2}^{2}z_{1}.
Comparando com
\langle v_{1},v_{2}\rangle =2x_{1}^{2}y_{1}^{2} +3x_{2}^{2}y_{2}^{2} +z_{1}^{2}z_{2},
vemos que, em geral,
2x_{1}^{2}y_{1}^{2}\neq3x_{1}^{2}y_{1}^{2} \quad\text{ou}\quad z_{1}^{2}z_{2}\neq z_{2}^{2}z_{1},
logo \langle v_{1},v_{2}\rangle\neq\langle v_{2},v_{1}\rangle. Portanto a simetria falha.

Passo 3

Como já não é simétrica, nem precisamos ir adiante no teste de bilinearidade ou positividade. Mas observação extra:
\langle v,v\rangle =2x^{4}+3y^{4}+z^{3},
que pode até ser negativo se z<0, falhando a positividade também.

Resposta

A função dada não define produto interno em \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados