Considere que um produto pode estar com defeito (B), com defeito leve (D L) ou com defeito grave (D G). Seja a seguinte distribuição do lucro (em R ), por unidade vendida desse produto:
| Produto | ), por unidade vendida desse produto: | Produto | | | |
| :—: | :—: | :—: |
| | | :---: | :---: | :---: | | | 6 | | 6 | |
| | | | 0 | | 0 | |
| | | | -2 | | -2 | |
E se o lucro duplicou, qual é o novo valor esperado, variância e desvio padrão do lucro por unidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre os lucros de um produto que pode estar em três situações: com defeito (B), com defeito leve (D L) ou com defeito grave (D G). A tabela mostra o lucro associado a cada situação e a probabilidade de cada uma ocorrer. O conteúdo que vamos usar aqui é de distribuição de probabilidade, valor esperado, variância e desvio padrão. Precisaremos entender como duplicar os lucros e recalcular esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos duplicar o lucro de cada situação. Isso significa multiplicar cada valor de lucro por 2:
|c|c|c| hline Produto & x' & p(x') hline B & 6 times 2 = 12 & 710 D L & 0 times 2 = 0 & 210 D G & -2 times 2 = -4 & 110 hline
Agora, temos os novos lucros: 12, 0 e -4, mantendo as mesmas probabilidades.

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado do lucro duplicado. O valor esperado representa a média ponderada dos lucros possíveis, considerando suas probabilidades. A fórmula é:
E(X') = sum p(x') times x'
Substituindo os valores:
E(X') = (710 times 12) + (210 times 0) + (110 times (-4))
Calculando:
E(X') = 8.4 + 0 - 0.4 = 8
Então, o valor esperado do lucro duplicado é 8 Reais.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância do lucro duplicado. A variância mede o quanto os lucros variam em relação ao valor esperado. A fórmula é:
Var(X') = sum p(x') times (x' - E(X'))^2
Vamos calcular cada parte:
  1. Para B:
(12 - 8)^2 = 16
710 times 16 = 11.2
  1. Para D L:
(0 - 8)^2 = 64
210 times 64 = 12.8
  1. Para D G:
(-4 - 8)^2 = 144
110 times 144 = 14.4
Somando tudo:
Var(X') = 11.2 + 12.8 + 14.4 = 38.4
A variância do lucro duplicado é 38.4 Reais².

Passo 5

Por último, vamos encontrar o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância e indica a dispersão dos lucros em relação ao valor esperado.
Desvio Padrão = raizVar(X') = raiz38.4 approx 6.20 ã
Então, o desvio padrão do lucro duplicado é aproximadamente 6.20 Reais.

Resposta

Após duplicar o lucro, os valores são:
  • Valor Esperado: 8 Reais
  • Variância: 38.4 Reais²
  • Desvio Padrão: aproximadamente 6.20 Reais

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