(ESAF - 2005 - ADAPTADO) De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada área da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específico para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe.
Indicador Frequência
0 mid-2 10
2 mid-4 20
4 mid-6 240
6 mid-8 410
8 mid-10 120
Total 8 0 0
Encontre os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com a produtividade dos funcionários e quer que a gente encontre dois limites: o Limite Inferior (LI) e o Limite Superior (LS). Esses limites vão ajudar o gerente a identificar quem precisa de treinamento e quem pode ser promovido. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de média e desvio padrão da estatística. Precisamos calcular a média da produtividade e o desvio padrão para depois determinar os limites LI e LS.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos as seguintes classes de produtividade e suas respectivas frequências:
Classe Frequência
-2 a 0 10
0 a 2 20
2 a 4 240
4 a 6 410
6 a 8 120
Total 800

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio de cada classe, que é a média dos limites inferior e superior de cada intervalo. Esse valor representa a produtividade típica daquela classe.
Classe Frequência Ponto Médio ( x)
-2 a 0 10 (-2 + 0)/2 = -1
0 a 2 20 (0 + 2)/2 = 1
2 a 4 240 (2 + 4)/2 = 3
4 a 6 410 (4 + 6)/2 = 5
6 a 8 120 (6 + 8)/2 = 7

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ( mu). A fórmula para a média é:
mu = sum (f times x)N
Onde:
  • f = frequência
  • x = ponto médio
  • N = total de observações
Vamos multiplicar cada frequência pelo seu ponto médio e somar tudo:
sum (f times x) = (10 times -1) + (20 times 1) + (240 times 3) + (410 times 5) + (120 times 7)
Calculando:
sum (f times x) = -10 + 20 + 720 + 2050 + 840 = 3610
Então, a média é:
mu = 3610800 = 4,5125

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( sigma). A fórmula é:
sigma = raizsum (f times (x - mu)^2)N
Primeiro, vamos calcular (x - mu)^2 para cada classe:
Classe x x - mu (x - mu)^2 f times (x - mu)^2
-2 a 0 -1 -5,5125 30,3964 10 times 30,3964 = 303,964
0 a 2 1 -3,5125 12,3441 20 times 12,3441 = 246,882
2 a 4 3 -1,5125 2,2877 240 times 2,2877 = 549,048
4 a 6 5 0,4875 0,2377 410 times 0,2377 = 97,357
6 a 8 7 2,4875 6,1894 120 times 6,1894 = 742,728
Somando tudo:
sum (f times (x - mu)^2) = 303,964 + 246,882 + 549,048 + 97,357 + 742,728 = 1.939,979
Agora, calculamos o desvio padrão:
sigma = raiz1939,979800 = raiz2,424974875 approx 1,557

Passo 6

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos calcular os limites LI e LS:
  • Limite Inferior (LI):
LI = mu - 2sigma = 4,5125 - 2 times 1,557 = 4,5125 - 3,114 = 1,3985
  • Limite Superior (LS):
LS = mu + 2sigma = 4,5125 + 2 times 1,557 = 4,5125 + 3,114 = 7,6265

Resposta

Os limites a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos são:
  • Limite Inferior (LI): aproximadamente 1,40
  • Limite Superior (LS): aproximadamente 7,63

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