Seja a variável aleatória discreta
número obtido no lançamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial, podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis de
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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Apresente a função de probabilidade acumulada e a forma gráfica para a variável aleatória discreta
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta $ X $ que representa o número obtido no lançamento de um dado comum e justo. Cada face do dado tem a mesma probabilidade de sair, que é $ \frac{1}{6} $. O que precisamos fazer é construir a função de probabilidade acumulada para essa variável $ X $ e desenhar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de probabilidade acumulada (FPA). A FPA, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Ou seja:
No caso de um dado comum, os possíveis valores de $ X $ são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, cada um com probabilidade $ \frac{1}{6} $.
Passo 3
Vamos calcular $ F(x) $ para cada valor de $ x $:
- Para $ x < 1 $: Como o dado não tem faces menores que 1, $ F(x) = 0 $.
- Para $ x = 1 $:
- Para $ x = 2 $:
- Para $ x = 3 $:
- Para $ x = 4 $:
- Para $ x = 5 $:
- Para $ x \geq 6 $:
Passo 4
Vamos organizar esses resultados em uma tabela para facilitar a visualização:
$ x $ | $ F(x) = P(X \leq x) $ |
---|---|
1 | $ \frac{1}{6} $ |
2 | $ \frac{1}{3} $ |
3 | $ \frac{1}{2} $ |
4 | $ \frac{2}{3} $ |
5 | $ \frac{5}{6} $ |
6 | 1 |
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o gráfico da função de probabilidade acumulada. Para variáveis discretas, a FPA é representada por uma função crescente em forma de degraus. Cada degrau ocorre no valor de $ x $ com um salto correspondente à probabilidade $ P(X = x) $.
No nosso caso, o gráfico terá degraus em $ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 $, aumentando de $ \frac{1}{6} $ a cada passo, até chegar a 1.
Resposta
A função de probabilidade acumulada $ F(x) $ para a variável aleatória discreta $ X $ é:
E o gráfico da função de probabilidade acumulada é uma escada que sobe em cada valor inteiro de $ x $ de 1 a 6, começando em 0 e alcançando 1 no final.