Seja a variável aleatória discreta X= número obtido no lançamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial, podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis de X:
x p(x)
1 1 / 6
2 1 / 6
3 1 / 6
4 1 / 6
5 1 / 6
6 1 / 6
Apresente a função de probabilidade acumulada e a forma gráfica para a variável aleatória discreta X;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta $ X $ que representa o número obtido no lançamento de um dado comum e justo. Cada face do dado tem a mesma probabilidade de sair, que é $ \frac{1}{6} $. O que precisamos fazer é construir a função de probabilidade acumulada para essa variável $ X $ e desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de probabilidade acumulada (FPA). A FPA, denotada por $ F(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Ou seja:
F(x)
No caso de um dado comum, os possíveis valores de $ X $ são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, cada um com probabilidade $ \frac{1}{6} $.

Passo 3

Vamos calcular $ F(x) $ para cada valor de $ x $:
  • Para $ x < 1 $: Como o dado não tem faces menores que 1, $ F(x) = 0 $.
  • Para $ x = 1 $: F(x)
  • Para $ x = 2 $: x
  • Para $ x = 3 $: x < 1
  • Para $ x = 4 $: F(x) = 0
  • Para $ x = 5 $: x = 1
  • Para $ x \geq 6 $: F(1) = P(X <= 1) = P(X = 1) = 16

Passo 4

Vamos organizar esses resultados em uma tabela para facilitar a visualização:
$ x $ $ F(x) = P(X \leq x) $
1 $ \frac{1}{6} $
2 $ \frac{1}{3} $
3 $ \frac{1}{2} $
4 $ \frac{2}{3} $
5 $ \frac{5}{6} $
6 1

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o gráfico da função de probabilidade acumulada. Para variáveis discretas, a FPA é representada por uma função crescente em forma de degraus. Cada degrau ocorre no valor de $ x $ com um salto correspondente à probabilidade $ P(X = x) $.
No nosso caso, o gráfico terá degraus em $ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 $, aumentando de $ \frac{1}{6} $ a cada passo, até chegar a 1.

Resposta

A função de probabilidade acumulada $ F(x) $ para a variável aleatória discreta $ X $ é:
F(x)
E o gráfico da função de probabilidade acumulada é uma escada que sobe em cada valor inteiro de $ x $ de 1 a 6, começando em 0 e alcançando 1 no final.

Exercícios relacionados