Seja a variável aleatória discreta X= número obtido no lançamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial, podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis de X:
x p(x)
1 1 / 6
2 1 / 6
3 1 / 6
4 1 / 6
5 1 / 6
6 1 / 6
Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um dado comum, que é justo, ou seja, cada face (de 1 a 6) tem a mesma chance de sair, com probabilidade de 1/6 cada. Precisamos calcular três coisas: o valor esperado, a variância e o desvio padrão dessa variável aleatória. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas de estatística para variáveis discritas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado ( E(X)). Esse valor é tipo a média que esperaríamos se lançássemos o dado muitas vezes. A fórmula é:
E(X) = sumx x cdot p(x)
Onde x são os possíveis resultados (1 a 6) e p(x) é a probabilidade de cada x.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
E(X) = 1 cdot 16 + 2 cdot 16 + 3 cdot 16 + 4 cdot 16 + 5 cdot 16 + 6 cdot 16

Passo 4

Agora, fazemos as multiplicações:
E(X) = 16 + 26 + 36 + 46 + 56 + 66 = 216 = 3,5
Então, o valor esperado é 3,5.

Passo 5

Vamos para a variância ( Var(X)). A variância mostra o quanto os resultados variam em relação ao valor esperado. A fórmula é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, precisamos calcular E(X^2), que é a média dos quadrados dos resultados.

Passo 6

Calculando E(X^2):
E(X^2) = 1^2 cdot 16 + 2^2 cdot 16 + 3^2 cdot 16 + 4^2 cdot 16 + 5^2 cdot 16 + 6^2 cdot 16
E(X^2) = 16 + 46 + 96 + 166 + 256 + 366 = 916 approx 15,17

Passo 7

Agora, aplicamos na fórmula da variância:
Var(X) = 15,17 - (3,5)^2 = 15,17 - 12,25 = 2,92
Então, a variância é aproximadamente 2,92.

Passo 8

Por fim, o desvio padrão ( σ) é a raiz quadrada da variância:
σ = raiz2,92 approx 1,71

Resposta

Valor Esperado: 3,5
Variância: 2,92
Desvio Padrão: 1,71

Exercícios relacionados