Seja a variável aleatória discreta
número obtido no lançamento de um dado comum. Se assumirmos o dado perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial, podemos alocar as seguintes probabilidades aos valores possíveis de
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um dado comum, que é justo, ou seja, cada face (de 1 a 6) tem a mesma chance de sair, com probabilidade de
cada. Precisamos calcular três coisas: o valor esperado, a variância e o desvio padrão dessa variável aleatória. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas de estatística para variáveis discritas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado (
). Esse valor é tipo a média que esperaríamos se lançássemos o dado muitas vezes. A fórmula é:
Onde
são os possíveis resultados (1 a 6) e
é a probabilidade de cada
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 4
Agora, fazemos as multiplicações:
Então, o valor esperado é 3,5.
Passo 5
Vamos para a variância (
). A variância mostra o quanto os resultados variam em relação ao valor esperado. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular
, que é a média dos quadrados dos resultados.
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, aplicamos na fórmula da variância:
Então, a variância é aproximadamente 2,92.
Passo 8
Por fim, o desvio padrão (
) é a raiz quadrada da variância:
Resposta
Valor Esperado:
Variância:
Desvio Padrão:
Variância:
Desvio Padrão: