Considere a progressão aritmética (P.A.) de razão r e primeiro termo a1.
Estabeleça uma fórmula para an, o n-ésimo termo, e demonstre-a por indução.

Passo 1

O problema pede a fórmula do n-ésimo termo de uma P.A. com razão r e primeiro termo a₁, e sua demonstração por indução. O conteúdo envolve progressão aritmética e o princípio de indução matemática.

Passo 2

Conjecturamos que a fórmula seja
an = a1 + (n-1)r
e definimos a proposição para indução: P(n): a_n = a_1 + (n-1)r.

Passo 3

Verificamos a base de indução, n=1. Pela definição de P.A., a₁ é o primeiro termo. Na fórmula temos
a1 = a1 + (1-1)r = a1 + 0 = a1
portanto P(1) é verdadeira.

Passo 4

Fazemos o passo indutivo. Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, a_k = a₁ + (k-1)r. Como a diferença entre termos consecutivos é a razão r, temos
ak+1 = ak + r
Substituindo a hipótese indutiva:
ak+1 = (a1 + (k-1)r) + r = a1 + kr = a1 + ((k+1)-1)r,
o que mostra P(k+1).

Passo 5

Pelo princípio de indução, concluímos que para todo n natural vale a fórmula do n-ésimo termo.

Resposta

an = a1 + (n-1)r

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