Considere a progressão aritmética (P.A.) de razão
e primeiro termo
.
Estabeleça uma fórmula para
, o
-ésimo termo, e demonstre-a por indução.
Estabeleça uma fórmula para
Passo 1
O problema pede a fórmula do n-ésimo termo de uma P.A. com razão r e primeiro termo a₁, e sua demonstração por indução. O conteúdo envolve progressão aritmética e o princípio de indução matemática.
Passo 2
Conjecturamos que a fórmula seja
e definimos a proposição para indução: P(n): a_n = a_1 + (n-1)r.
Passo 3
Verificamos a base de indução, n=1. Pela definição de P.A., a₁ é o primeiro termo. Na fórmula temos
portanto P(1) é verdadeira.
Passo 4
Fazemos o passo indutivo. Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, a_k = a₁ + (k-1)r. Como a diferença entre termos consecutivos é a razão r, temos
Substituindo a hipótese indutiva:
o que mostra P(k+1).
Passo 5
Pelo princípio de indução, concluímos que para todo n natural vale a fórmula do n-ésimo termo.