Encontre a lei geral sugerida e em seguida demonstre-a por indução.
1+12=2-12, 1+12+14=2-14, 1+12+14+18=2-18

Passo 1

O enunciado nos dá as somas parciais de uma série:
1+1/2=2−1/2,
1+1/2+1/4=2−1/4,
1+1/2+1/4+1/8=2−1/8.
Isso é conteúdo de soma de série geométrica. Precisamos encontrar a expressão geral para a soma das potências de 1/2 e depois provar essa fórmula usando indução.

Passo 2

Observando os três primeiros casos, percebemos que a soma até 1/2^n parece ser 2 menos 1/2^n. Conjecturamos a lei geral:
sumk=0^n 12^k = 2 - 12^n

Passo 3

Vamos provar por indução em n≥1. Primeiro, o caso base n=1:
sumk=0^1 12^k = 1 + 12 = 32,
e de outro lado
2 - 12^1 = 2 - 12 = 32
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 4

Agora o passo indutivo. Suponha que para algum n≥1 valha
sumk=0^n 12^k = 2 - 12^n
Então para n+1 temos:
sumk=0^n+1 12^k = l(sumk=0^n 12^kr) + 12^n+1 = l(2 - 12^nr) + 12^n+1
Fazendo a conta:
2 - 12^n + 12^n+1 = 2 - l(12^n - 12^n+1r) = 2 - 12^n+1,
que é exatamente a fórmula para n+1. Isso completa o passo indutivo.

Passo 5

Pela base estabelecida em n=1 e pelo passo indutivo, a fórmula vale para todo n≥1 por princípio da indução matemática.

Resposta

sumk=0^n 12^k = 2 - 12^n

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