Encontre a lei geral sugerida e em seguida demonstre-a por indução.
Passo 1
O enunciado nos dá as somas parciais de uma série:
1+1/2=2−1/2,
1+1/2+1/4=2−1/4,
1+1/2+1/4+1/8=2−1/8.
Isso é conteúdo de soma de série geométrica. Precisamos encontrar a expressão geral para a soma das potências de 1/2 e depois provar essa fórmula usando indução.
1+1/2=2−1/2,
1+1/2+1/4=2−1/4,
1+1/2+1/4+1/8=2−1/8.
Isso é conteúdo de soma de série geométrica. Precisamos encontrar a expressão geral para a soma das potências de 1/2 e depois provar essa fórmula usando indução.
Passo 2
Observando os três primeiros casos, percebemos que a soma até 1/2^n parece ser 2 menos 1/2^n. Conjecturamos a lei geral:
Passo 3
Vamos provar por indução em n≥1. Primeiro, o caso base n=1:
e de outro lado
Logo, a fórmula vale para n=1.
Passo 4
Agora o passo indutivo. Suponha que para algum n≥1 valha
Então para n+1 temos:
Fazendo a conta:
que é exatamente a fórmula para n+1. Isso completa o passo indutivo.
Passo 5
Pela base estabelecida em n=1 e pelo passo indutivo, a fórmula vale para todo n≥1 por princípio da indução matemática.