Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto
e
unidades de um produto
, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por
. Em certo mês foram produzidos 3000 unidades do produto
e 2000 unidades do produto
. Calcule o que é mais conveniente a partir dessa situação: aumentar a produção do produto
mantendo constante a produção do produto
, ou vice versa? Justifique com base nos resultados anteriores.
Passo 1
O enunciado: a fábrica tem custo mensal conjunto dado por C(x,y)=20000+√(x²+y²). Num mês x=3000 e y=2000, queremos descobrir, a partir das derivadas parciais (custo marginal), se é mais barato aumentar A fixando B ou aumentar B fixando A.
Passo 2
Para medir a variação de custo ao aumentar só x ou só y, a gente usa derivadas parciais. A teoria diz que
e
Essas expressões dão o custo extra ao produzir mais uma unidade de A ou de B, respectivamente.
Passo 3
Agora substituímos x=3000 e y=2000 para calcular o denominador:
Passo 4
Com esse valor no denominador, temos:
e
Passo 5
Comparando os custos marginais, vemos que produzir uma unidade extra de B (0,55) é mais barato do que produzir uma unidade extra de A (0,83). Portanto, é mais conveniente aumentar a produção de B mantendo A constante.
Resposta
É mais vantajoso aumentar a produção do produto B mantendo constante a produção de A, pois o custo marginal de B (≈0,55) é menor que o de A (≈0,83).