Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por C(x, y)=20000+ raizx^2+y^2. Em certo mês foram produzidos 3000 unidades do produto A e 2000 unidades do produto B. Calcule o que é mais conveniente a partir dessa situação: aumentar a produção do produto A mantendo constante a produção do produto B, ou vice versa? Justifique com base nos resultados anteriores.

Passo 1

O enunciado: a fábrica tem custo mensal conjunto dado por C(x,y)=20000+√(x²+y²). Num mês x=3000 e y=2000, queremos descobrir, a partir das derivadas parciais (custo marginal), se é mais barato aumentar A fixando B ou aumentar B fixando A.

Passo 2

Para medir a variação de custo ao aumentar só x ou só y, a gente usa derivadas parciais. A teoria diz que
partial Cpartial x=xraizx^2+y^2,
e
partial Cpartial y=yraizx^2+y^2
Essas expressões dão o custo extra ao produzir mais uma unidade de A ou de B, respectivamente.

Passo 3

Agora substituímos x=3000 e y=2000 para calcular o denominador:
raiz3000^2+2000^2= raiz9,000,000+4,000,000= raiz13,000,000approx3605,55

Passo 4

Com esse valor no denominador, temos:
partial Cpartial xg|(3000,2000)=30003605,55approx0,8320,
e
partial Cpartial yg|(3000,2000)=20003605,55approx0,5547

Passo 5

Comparando os custos marginais, vemos que produzir uma unidade extra de B (0,55) é mais barato do que produzir uma unidade extra de A (0,83). Portanto, é mais conveniente aumentar a produção de B mantendo A constante.

Resposta

É mais vantajoso aumentar a produção do produto B mantendo constante a produção de A, pois o custo marginal de B (≈0,55) é menor que o de A (≈0,83).

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