- 2.9: Considere um projétil disparado verticalmente em um campo gravitacional constante. Para a mesma velocidade inicial, qual a razão entre o tempo de subida e o tempo de descida se considerarmos que a força de resistência do ar é proporcional a
? (Aqui,
é a velocidade instantânea da partícula).
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou deixar tudo claro e sem resolver nada ainda):\n
- Um projétil é disparado verticalmente para cima com velocidade inicial
(magniture conhecida).\n - Campo gravitacional constante com aceleração
para baixo (valor positivo ).\n - Força de resistência do ar é proporcional à velocidade instantânea
. Vou representar essa força por (o sinal negativo indica que a força é sempre oposta à velocidade). Aqui é a constante de proporcionalidade.\n - Massa do projétil é
. Defino (tem unidade de s^{-1}), que simplifica a escrita.\n
O que o problema pergunta:\n - Para a mesma velocidade inicial
, qual é a razão entre o tempo de subida e o tempo de descida? Ou seja, queremos .\n
Observações importantes sobre o que temos disponível:\n - Temos que tratar subida e descida com a mesma equação de movimento, mas com condições iniciais diferentes (na subida a velocidade inicial é
; no topo, na descida, a velocidade inicial é zero). - Não há outras hipóteses escondidas no enunciado; vou usar a convenção de eixo vertical positivo para cima.
Passo 2
Equação do movimento e interpretação física (aula rápida):\n
- Força resultante na direção vertical (positivo para cima) é soma do peso e da resistência do ar. Como a resistência é proporcional à velocidade e sempre aponta oposta à velocidade, a equação é
- Dividindo por
e usando , obtemos a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Explicação didática do que isto significa:\n
- O termo
é a aceleração constante para baixo (gravidade).\n - O termo
representa o amortecimento linear: quanto maior a velocidade, maior a contribuição do arrasto para reduzir (ou aumentar, no caso da descida) a aceleração instantânea.\n - Essa equação vale tanto na subida quanto na descida; o que muda são as condições iniciais (sinal e valor inicial da velocidade).
Passo 3
Resolvendo a equação para a velocidade durante a subida (passo-a-passo):\n
- Consideramos a fase de subida com condição inicial
(positivo para cima).\n - A equação é linear; método do fator integrante: fator integrante
. Multiplicando por e integrando,
- Integrando de
a e usando obtemos
- Isolando
,
Breve interpretação: sem resistência (
) recupera
; com resistência, aparece um termo de relaxamento exponencial para a velocidade terminal
.\n
- Tempo de subida
é o instante em que (atinge o ponto mais alto). Igualando a zero:
- Dessa igualdade segue
- Tomando logaritmo e isolando
,
Comentário motivador: essa fórmula é simples e muito útil — memoriza mentalmente que aparece um
por causa do amortecimento exponencial.
Passo 4
Altura máxima atingida (necessária para o tempo de descida):\n
- Para achar o tempo de descida precisamos saber a altura máxima
(ponto inicial da queda). Integramos durante a subida para obter a posição (assumindo ):
- Avaliando em
(onde ) obtemos uma expressão que se simplifica bastante:
Explicação rápida do resultado: o primeiro termo
vem do limite quando o amortecimento domina; o log corrige pela ação da gravidade ao longo do tempo de subida.
Passo 5
Velocidade e posição durante a descida e equação para o tempo de descida:\n
- Para a descida, as condições iniciais (no instante definido como
para a descida) são: (parte do repouso no topo) e posição inicial .\n - A equação para
é a mesma . Com a solução é
(Nota: o sinal negativo indica que a velocidade é para baixo.)\n
- A posição durante a descida (medida em coord. com cima positiva) é
- O tempo de descida
é a solução positiva de . Substituindo da Passo 4 e rearranjando obtemos a equação (faço a substituição e simplifico):
- Para simplificar a escrita, introduzo a quantidade adimensional
Também defino
e
. Em termos dessas variáveis a equação acima fica
Reescrevendo um pouco,
Essa equação determina
(e portanto
) em função de
(que depende de
, i.e. da velocidade inicial).
Passo 6
Resolvendo explicitamente a equação para
usando a função
(função de Lambert) — procedimento e explicação:\n
- Temos a equação
onde
(e como vimos
e
, logo
).\n
- Multiplico ambos os lados por
para obter
- Reescrevo como
- Agora defino
. A equação fica . A solução para é dada pela função de Lambert :
(Explicação curta da função
: ela é a inversa da função
; ou seja, se
então
.)\n
- Voltando para
, temos
- Substituindo
e lembrando , obtemos finalmente
pois
Passo 7
Expressão final da razão
(organizando tudo num lugar só):\n
- Lembre que
com .\n - Portanto a razão pedida é
- Substituindo de volta
se preferir, temos uma forma equivalente em termos de .\n
Breve comentário final (motivador): essa expressão é a forma fechada da razão; a presença da funçãoé natural porque surgem termos do tipo ao resolver a equação transcendental que determina o tempo de descida. Para casos de resistência fraca ( ) a razão fica próxima de (subida e descida quase simétricas), e para amortecimento maior a assimetria cresce.