• 2.5: Se um grão de granizo cai de uma altura de 1 km , e supondo que não haja resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? Expresse o resultado em metros por segundo (\mathrm{m} / \mathrm{s}) e em quilômetros por hora (km/h).

Passo 1

O enunciado pede a velocidade com que um grão de granizo atinge o solo quando é solto de uma altura de 1\\ \mathrm{km}, assumindo que não há resistência do ar. Queremos a velocidade em duas unidades: metros por segundo (\mathrm{m/s}) e quilômetros por hora (\mathrm{km/h}).
Informações dadas e hipóteses explícitas:
h = 1\\ \mathrm{km} (altura inicial).
Assumimos que o grão é solto do repouso, então v_0 = 0.
Não há resistência do ar (apenas aceleração constante da gravidade).
Adotaremos g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} como aceleração gravitacional.

Passo 2

Qual equação usar e por que ela vale aqui.
Quando um objeto se move com aceleração constante, existe uma relação que conecta a velocidade final v, a velocidade inicial v_0, a aceleração a e o deslocamento vertical \Delta y. Essa relação é útil porque não exige o tempo; ela vem das equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado.
A relação é
v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\,\Delta y.
Explicando cada símbolo:
v = velocidade final do objeto (o que queremos);
v_{0} = velocidade inicial (aqui 0 porque o grão foi solto do repouso);
a = aceleração constante (aqui a=g, a gravidade, com sinal adequado);
\Delta y = deslocamento na direção da aceleração (aqui é a altura h percorrida).
Se quiser ver rapidamente de onde vem essa fórmula: partimos de
v = v_{0} + a t
e
\Delta y = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Eliminando t entre essas duas equações (isolando t na primeira e substituindo na segunda) e simplificando, obtém-se exatamente
v^{2} - v_{0}^{2} = 2a\,\Delta y.
Isso evita ter que calcular o tempo de queda.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema.
Aqui v_{0}=0, a=g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e o deslocamento vertical é \Delta y = h. Convertendo a altura para metros (pois g está em \mathrm{m/s^{2}}):
h = 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}.
Substituindo na fórmula:
v^{2} = 0^{2} + 2 \cdot 9{,}8 \cdot 1000 = 2 \cdot 9{,}8 \cdot 1000.
Calculando dentro da raiz:
2 \cdot 9{,}8 \cdot 1000 = 19600.
Portanto
v = \sqrt{19600} = 140\\ \mathrm{m/s}.
Observação de unidade: a raiz de \mathrm{m^{2}/s^{2}} é \mathrm{m/s}, então a unidade está consistente.

Passo 4

Converter \mathrm{m/s} para \mathrm{km/h}.
A conversão padrão vem de:
1\\ \mathrm{m/s} = \frac{1\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{s}}\times\frac{3600\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{h}}\times\frac{1\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{m}} = 3{,}6\\ \mathrm{km/h}.
Então basta multiplicar por 3{,}6:
v = 140\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}6 = 504\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Comentário final e intuição (pra animar): esse valor \,140\\ \mathrm{m/s} (ou \,504\\ \mathrm{km/h}) é o que se obteria sem resistência do ar. Na prática, a resistência do ar limita a velocidade (velocidade terminal), então um grão de granizo real cairia mais devagar — mas para a prova, usando a hipótese dada, os cálculos acima são os corretos.

Resposta

140\\ \mathrm{m/s}
504\\ \mathrm{km/h}

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