Considere um projétil lançado com em um ângulo \theta com a horizontal com velocidade inicial \mathrm{v}_{\mathrm{o}}, sujeito apenas à aceleração da gravidade. Determine o ângulo para máximo alcance horizontal (no plano) e uma expressão para o alcance horizontal máximo (em termos de \mathrm{v}_{0} \mathrm{e} \mathrm{g} )

Passo 1

O enunciado fala de um projétil lançado no vácuo com velocidade inicial \mathrm{v}_0 num ângulo \theta em relação à horizontal, sujeito apenas à aceleração da gravidade g. Queremos achar o ângulo que maximiza o alcance horizontal e a expressão desse alcance máximo em termos de \mathrm{v}_0 e g. O conteúdo envolvido é a cinemática do movimento uniformemente variado, decompondo o movimento em componentes horizontal e vertical e usando otimização de função.

Passo 2

Primeiro, decomponho a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. São
v_{0x} = \mathrm{v}_0 \cos\theta,
v_{0y} = \mathrm{v}_0 \sin\theta.

Passo 3

O tempo total de voo T ocorre quando a partícula retorna ao mesmo nível de lançamento. Usando a equação do movimento vertical
0 = v_{0y}\,T - \tfrac12\,g\,T^2,
além da solução T=0, ficamos com
T = \frac{2\,v_{0y}}{g} = \frac{2\,\mathrm{v}_0\sin\theta}{g}.

Passo 4

O alcance horizontal R(\theta) é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo:
R(\theta) = v_{0x}\,T = \bigl(\mathrm{v}_0\cos\theta\bigr)\,\frac{2\,\mathrm{v}_0\sin\theta}{g} = \frac{2\,\mathrm{v}_0^2}{g}\,\sin\theta\cos\theta.
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos
R(\theta) = \frac{\mathrm{v}_0^2}{g}\,\sin(2\theta).

Passo 5

Para maximizar R(\theta), percebemos que \sin(2\theta) atinge seu valor máximo 1 quando
2\theta = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta = 45^\circ.

Passo 6

Substituindo \theta=45^\circ em R(\theta), o seno vale 1, logo o alcance máximo é
R_{\max} = \frac{\mathrm{v}_0^2}{g}\,\sin(90^\circ) = \frac{\mathrm{v}_0^2}{g}.

Resposta

O ângulo de lançamento que dá o máximo alcance é \theta=45^\circ e o alcance máximo vale
R_{\max} = \frac{\mathrm{v}_0^2}{g}.

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