Considere um projétil lançado com em um ângulo
com a horizontal com velocidade inicial
, sujeito apenas à aceleração da gravidade. Determine o ângulo para máximo alcance horizontal (no plano) e uma expressão para o alcance horizontal máximo (em termos de
)
Passo 1
O enunciado fala de um projétil lançado no vácuo com velocidade inicial
num ângulo
em relação à horizontal, sujeito apenas à aceleração da gravidade
. Queremos achar o ângulo que maximiza o alcance horizontal e a expressão desse alcance máximo em termos de
e
. O conteúdo envolvido é a cinemática do movimento uniformemente variado, decompondo o movimento em componentes horizontal e vertical e usando otimização de função.
Passo 2
Primeiro, decomponho a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. São
Passo 3
O tempo total de voo
ocorre quando a partícula retorna ao mesmo nível de lançamento. Usando a equação do movimento vertical
além da solução
, ficamos com
Passo 4
O alcance horizontal
é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 5
Para maximizar
, percebemos que
atinge seu valor máximo
quando
Passo 6
Substituindo
em
, o seno vale
, logo o alcance máximo é
Resposta
O ângulo de lançamento que dá o máximo alcance é
e o alcance máximo vale