Determinar o maior valor possível para o peso W, sabendo que a tensão normal de ruptura é d 25000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2} para o cabo de aço A B e 1000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2} para o componente de madeira B C. Adotar fator de segurança igual a 1,8 . Se necessário, lembrar que 1 \mathrm{ft}=12 \mathrm{in}.

Passo 1

O sistema consiste num cabo de aço AB de área de seção reta 0{,}5\\ \mathrm{in}^2 e numa barra de madeira BC de área 16\\ \mathrm{in}^2. O ponto B está a 9\\ \mathrm{ft} horizontalmente de A e a 12\\ \mathrm{ft} acima de C, de modo que o comprimento de BC é
\sqrt{9^2 + 12^2} = 15\\ \mathrm{ft}.
Pende do nó B um peso W e queremos achar W_{\max} antes de a tensão atingir o limite de ruptura dos materiais, adotando fator de segurança 1{,}8.

Passo 2

Fazendo o diagrama de corpo livre em B, temos três forças:
  1. A tensão T_{AB} no cabo AB, horizontal para a esquerda.
  2. A força T_{BC} na barra BC, atuando ao longo da barra, do ponto B em direção a C.
  3. O peso W, vertical para baixo.

Passo 3

Chamando \theta o ângulo que BC faz com a horizontal, temos
\cos\theta = \frac{9}{15} = 0{,}6, \qquad \sin\theta = \frac{12}{15} = 0{,}8.
Equilíbrio em x e em y:
\sum F_x: \;-T_{AB} + T_{BC}\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad T_{AB} = T_{BC}\,(0{,}6),
\sum F_y: \;T_{BC}\sin\theta - W = 0 \quad\Longrightarrow\quad W = T_{BC}\,(0{,}8).

Passo 4

Das equações do equilíbrio obtemos
T_{BC} = \frac{W}{0{,}8} = 1{,}25\,W, \qquad T_{AB} = 0{,}6\,T_{BC} = 0{,}6\times1{,}25\,W = 0{,}75\,W.

Passo 5

Tensões admissíveis:
  • Para o aço AB, tensão de ruptura \sigma_r = 25000\\ \mathrm{psi}, então tensão admissível
\sigma_{adm,AB} = \frac{25000}{1{,}8}\\ \mathrm{psi}
e força admissível
P_{AB} = \sigma_{adm,AB}\times 0{,}5\\ \mathrm{in}^2 = \frac{25000}{1{,}8}\times0{,}5 = 6944{,}44\\ \mathrm{lbf}.
  • Para a madeira BC, \sigma_r = 1000\\ \mathrm{psi}, tensão admissível
\sigma_{adm,BC} = \frac{1000}{1{,}8}\\ \mathrm{psi}
e força admissível
P_{BC} = \sigma_{adm,BC}\times16\\ \mathrm{in}^2 = \frac{1000}{1{,}8}\times16 = 8888{,}89\\ \mathrm{lbf}.

Passo 6

Cada componente não pode exceder sua força admissível:
  1. Do cabo AB:
T_{AB} = 0{,}75\,W \le 6944{,}44 \quad\Longrightarrow\quad W \le \frac{6944{,}44}{0{,}75} = 9259{,}25\\ \mathrm{lbf}.
  1. Da barra BC:
T_{BC} = 1{,}25\,W \le 8888{,}89 \quad\Longrightarrow\quad W \le \frac{8888{,}89}{1{,}25} = 7111{,}11\\ \mathrm{lbf}.
O valor limite é o menor desses dois.

Resposta

W_{\max} = 7111\\ \mathrm{lbf} (aproximadamente)

Exercícios relacionados