Determinar a maior massa possível para o cilindro uniforme abaixo, sabendo que a tensão normal não pode exceder o valor admissível de 50 MPa no cabo B C, cuja área da seção transversal é 100 \mathrm{~mm}^{2}. Desprezar o peso próprio da barra inclinada A B e o atrito entre o cilindro e seus pontos de contato. Adotar g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro uniformemente carregado, encostado entre uma parede vertical e a barra AB. A barra AB é articulada em A e presa ao ponto B por um cabo BC. O cabo não pode ter tensão maior que o admissível de 50\text{ MPa} na sua seção de 100\text{ mm}^2. Desprezamos o peso da barra e atrito. Precisamos usar equilíbrio estático da barra e do cilindro e a relação
T_{\max}=\sigma_{\rm adm}\,A
para encontrar a massa máxima m do cilindro.

Passo 2

Calcular a tensão máxima no cabo:
T_{\max} = 50\times10^6\;\frac{\text{N}}{\text{m}^2}\;\times100\times10^{-6}\;\text{m}^2 =5000\;\text{N}.

Passo 3

Equilíbrio de momentos da barra em torno de A. Seja \theta o ângulo entre a barra AB e o cabo BC (horizontal). Do enunciado, a barra tem comprimento L=6 m e o ponto de contato com o cilindro fica a d=4 m de A.
  • A tensão T é horizontal e aplicada em B, cuja posição vetorial em relação a A tem módulo L e direção \theta. O momento de T em A é
M_T = L\,T\,\sin\theta =6\,T\,\sin\theta.
  • A força normal N do cilindro na barra é perpendicular a AB e aplicada em C a d de A. Seu momento vale
M_N = d\,N =4\,N
e, pelo sentido, gera momento oposto ao de T. Logo, a soma dos momentos é zero:
6\,T\,\sin\theta \;-\;4\,N =0 \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{6}{4}\;T\,\sin\theta =1{,}5\,T\,\sin\theta.

Passo 4

Equilíbrio de forças no cilindro (sem atrito):
  • Na direção vertical: a componente vertical da normal na barra sustenta o peso:
N\,\sin\theta = W = m\,g.
  • Na direção horizontal: a normal na parede equilibra a componente horizontal de N, mas não precisamos desta para achar m.

Passo 5

Combinar as duas relações. Substituindo N=1{,}5\,T\,\sin\theta em N\sin\theta =m\,g e usando T=T_{\max}:
1{,}5\;T_{\max}\,\sin\theta\;\cdot\sin\theta =m\,g \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{1{,}5\,T_{\max}\,\sin^2\theta}{g}.
Da figura o ângulo é \theta=60^\circ, portanto \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2} e
m = \frac{1{,}5\times5000\times\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2}{9,81} =\frac{7500\times\frac34}{9,81} =\frac{5625}{9,81}\approx573{,}4\;\text{kg}.

Resposta

A maior massa possível do cilindro é aproximadamente 573\;\text{kg}.

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