Considere um projétil com velocidade inicial de módulo v0, fazendo um ângulo theta0 com a horizontal, lançado a partir da posição inicial (x0, y0) qualquer. (Atenção, na sala de aula nós discutimos o caso x0=0 e y0=0 somente.)
Escreva as equações de r(t) e v(t).

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente escrever, em forma de vetor, a posição vec r(t) e a velocidade vec v(t) de um projétil que sai de qualquer ponto (x0,y0) com velocidade inicial de módulo v0 formando um ângulo theta0 com a horizontal. Isso é cinemática vetorial de projéteis, onde a única aceleração é a da gravidade, vec a=(0,-g). Para resolver, a gente vai precisar:
  • Decompor a velocidade inicial em componentes x e y.
  • Usar as fórmulas do M.R.U.V. vetorial: vec v(t)=vec v0+vec a,t e vec r(t)=vec r0+vec v0,t+tfrac12,vec a,t^2.

Passo 2

Primeiro, decompomos vec v0 nas direções horizontal ( x) e vertical ( y).
Em LaTeX:
v0x=v0costheta0, v0y=v0sintheta0
Assim:
vec v0=(v0costheta0),hatimath+(v0sintheta0),hatjmath

Passo 3

A aceleração é só a da gravidade, apontando pra baixo:
vec a=(0,-g)=0,hatimath+(-g),hatjmath
Agora, a fórmula do M.R.U.V. vetorial pra velocidade é
vec v(t)=vec v0+vec a,t
Substituindo as componentes:
vec v(t)=l(v0costheta0r)hatimath+l(v0sintheta0r)hatjmath + tl(0,hatimath - g,hatjmathr)
vec v(t)=l(v0costheta0r),hatimath+l(v0sintheta0-g,tr),hatjmath

Passo 4

Pra achar a posição a gente integra a velocidade (ou usa direto a fórmula do M.R.U.V. para posição):
vec r(t)=vec r0+vec v0,t+tfrac12,vec a,t^2,
onde vec r0=(x0,y0)=x0,hatimath+y0,hatjmath.
Substituindo tudo:
vec r(t)=l(x0,hatimath+y0,hatjmathr)+tl(v0costheta0,hatimath+v0sintheta0,hatjmathr)+tfrac12,t^2,(0,hatimath - g,hatjmath)
Separando componentes:
vec r(t)=l(x0+v0costheta0,tr)hatimath+l(y0+v0sintheta0,t-tfrac12,g,t^2r)hatjmath

Resposta

Em forma vetorial, as equações são:
boxedvec v(t)=l(v0costheta0r),hatimath+l(v0sintheta0-g,tr),hatjmath,
boxedvec r(t)=l(x0+v0costheta0,tr),hatimath+l(y0+v0sintheta0,t-tfrac12,g,t^2r),hatjmath,

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