Considere um projétil com velocidade inicial de módulo v0, fazendo um ângulo theta0 com a horizontal, lançado a partir da posição inicial (x0, y0) qualquer. (Atenção, na sala de aula nós discutimos o caso x0=0 e y0=0 somente.)
Encontre a equação da trajetória no plano x-y.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um projétil lançado com velocidade inicial de módulo , formando um ângulo em relação à horizontal, e saindo de um ponto qualquer . O que pede é a trajetória no plano , ou seja, em função de .
Conteúdo: movimento uniformemente acelerado nas duas direções (horizontal sem aceleração, vertical com aceleração da gravidade ). Vamos montar as equações paramétricas e , depois eliminar o tempo para achar .

Passo 2

Primeiro, lembra que no eixo x(t) = x0 + v0costheta0 ;t não tem aceleração (desprezando resistência do ar), então
y(t) = y0 + v0sintheta0 ;t - tfrac12,g,t^2
No eixo , a gravidade age pra baixo com aceleração , então
Isso vem direto da fórmula do MUV: .

Passo 3

Agora a ideia é eliminar o tempo t = x - x0v0costheta0 . Da equação de a gente isola :
É isso que a gente vai meter na expressão de .

Passo 4

Substituindo y = y0 + v0sintheta0!(x - x0v0costheta0) - tfrac12,g,l(x - x0v0costheta0r)^!2 em y = y0 + tantheta0,(x - x0) - g2,v0^2cos^2theta0,(x - x0)^2 :
Vamos simplificar termo a termo:
  1. .
  2. .
Então fica

Resposta

boxed% y(x) ;=; y0 ;+;tantheta0,(x - x0) ;-;g2,v0^2cos^2theta0,(x - x0)^2

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