Considere um projétil com velocidade inicial de módulo
, fazendo um ângulo
com a horizontal, lançado a partir da posição inicial
qualquer. (Atenção, na sala de aula nós discutimos o caso
e
somente.)
Calcule o alcance máximo
Calcule o alcance máximo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que a gente lança um projétil com velocidade inicial de módulo
num ângulo qualquer
, partindo de
. A gente já viu na aula o caso em que
e
, mas agora é genérico.
Conteúdo: movimento de projéteis (cinemática no plano) + cálculo de máximo (otimização via derivada).
O que vamos usar:
Conteúdo: movimento de projéteis (cinemática no plano) + cálculo de máximo (otimização via derivada).
O que vamos usar:
- As equações da trajetória (posições
, ). - Resolver o tempo de queda, usando a equação quadrática em
. - Montar a expressão do alcance
. - Derivar
em relação a e achar o ângulo que maximiza. - Substituir de volta pra achar o valor máximo de
.
Passo 2
Primeiro a gente faz as equações do movimento separando componentes.
Horizontal:
Horizontal:
Vertical:
O alcance (distância horizontal viajada até voltar ao chão
) é dado quando
. Vamos achar esse tempo de voo.
Passo 3
Para achar o tempo final
, resolve
Isto é uma equação quadrática em
. A raiz positiva é
(A outra raiz é negativa, a gente descarta.)
Passo 4
O alcance a partir de
é
Agora, pra achar o máximo, a gente faz
.
Sem pular contas, você derivaria cada termo, mas o resultado padrão é que o ângulo que maximiza satisfaz
Sem pular contas, você derivaria cada termo, mas o resultado padrão é que o ângulo que maximiza satisfaz
Passo 5
Fazendo
e simplificando, chega-se na expressão limpinha do alcance máximo (distância horizontal desde
):