Considere um projétil com velocidade inicial de módulo v0, fazendo um ângulo theta0 com a horizontal, lançado a partir da posição inicial (x0, y0) qualquer. (Atenção, na sala de aula nós discutimos o caso x0=0 e y0=0 somente.)
Calcule o alcance máximo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que a gente lança um projétil com velocidade inicial de módulo num ângulo qualquer , partindo de . A gente já viu na aula o caso em que e , mas agora é genérico.
Conteúdo: movimento de projéteis (cinemática no plano) + cálculo de máximo (otimização via derivada).
O que vamos usar:
  • As equações da trajetória (posições , ).
  • Resolver o tempo de queda, usando a equação quadrática em .
  • Montar a expressão do alcance .
  • Derivar em relação a e achar o ângulo que maximiza.
  • Substituir de volta pra achar o valor máximo de .

Passo 2

Primeiro a gente faz as equações do movimento separando componentes.
Horizontal:
x(t) = x0 + v0costheta;t
Vertical:
y(t) = y0 + v0sintheta;t - tfrac12,g,t^2
O alcance (distância horizontal viajada até voltar ao chão ) é dado quando . Vamos achar esse tempo de voo.

Passo 3

Para achar o tempo final y0 + v0sintheta;t - tfrac12,g,t^2 = 0 , resolve
tf = v0sintheta + raiz(v0sintheta)^2 + 2 g,y0g
Isto é uma equação quadrática em . A raiz positiva é
(A outra raiz é negativa, a gente descarta.)

Passo 4

O alcance a partir de R(theta) = x(tf) - x0 = v0costheta;tf = v0costhetag,l(v0sintheta + raizv0^2sin^2theta + 2g,y0r) é
tanthetarm opt = v0raiz,v0^2 + 2g,y0,
Agora, pra achar o máximo, a gente faz
.
Sem pular contas, você derivaria cada termo, mas o resultado padrão é que o ângulo que maximiza satisfaz

Passo 5

Fazendo Rmax = v0g,raiz,v0^2 + 2g,y0, e simplificando, chega-se na expressão limpinha do alcance máximo (distância horizontal desde ):

Resposta

boxedRmax ;=;v0g,raiz,v0^2 + 2,g,y0,

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