Considere as proposições
: “Fred tem cabelos vermelhos”,
: “Fred tem nariz grande”, e
: “Fred gosta de comer figos”.
Passe para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
(f) Não é o caso de Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos.
Passe para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
(f) Não é o caso de Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos.
Passo 1
O enunciado dá as proposições atômicas e pede que se traduza para a linguagem simbólica a frase:
- Proposições dadas:
-
: “Fred tem cabelos vermelhos” -
: “Fred tem nariz grande” -
: “Fred gosta de comer figos”
-
- Pedido: traduzir para a linguagem simbólica a proposição (f): “Não é o caso de Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos.”
Passo 2
Interpretar cuidadosamente a frase em português. "Não é o caso de
ou
" significa que toda a disjunção "
ou
" está negada como um todo. Ou seja, a negation aplica-se à expressão inteira “Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos”, não apenas a uma das partes isoladamente.
Passo 3
Recordando os símbolos lógicos básicos que vamos usar (explicação passo a passo e amigável):
- Negação: o símbolo é
. Se é uma proposição, então significa "não ". Por exemplo, se = “hoje chove”, então = “não é o caso que hoje chove”. - Disjunção (ou): o símbolo é
. significa " ou " (no sentido inclusivo: é verdadeiro se pelo menos um dos dois é verdadeiro). - Conjunção (e): o símbolo é
. significa " e " (verdadeiro só quando ambos são verdadeiros). - Parênteses: servem para deixar claro a ordem em que os operadores agem. A negação
aplicada a uma expressão composta deve envolver essa expressão entre parênteses quando a negação recai sobre toda ela.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso. A parte interna “Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos” corresponde a
(repare que o enunciado dá
para “nariz grande” e
para “cabelos vermelhos”). Como a frase começa com “Não é o caso de …” negamos essa disjunção inteira. Logo a tradução direta é
Passo 5
Explicação adicional útil (lei de De Morgan) e forma equivalente. A lei de De Morgan diz que a negação de uma disjunção é equivalente à conjunção das negações:
Interpretando: “não (q ou p)” é o mesmo que “não q e não p” — isto traduz o sentido coloquial “nem tem nariz grande nem tem cabelos vermelhos”.
Passo 6
Verificação rápida por casos (intuição com tabela de verdade reduzida). Há quatro possibilidades para os valores de
e
:
- Se
é F e é F: é F, então é V; também é V. - Se
é V e é F: é V, então é F; também é F. - Se
é F e é V: é V, então é F; também é F. - Se
é V e é V: é V, então é F; também é F.
Isso confirma que
e
têm os mesmos valores lógicos em todos os casos.