Considere as proposições
p : “Fred tem cabelos vermelhos”,
q : “Fred tem nariz grande”, e
r : “Fred gosta de comer figos”.
Passe para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
(f) Não é o caso de Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos.

Passo 1

O enunciado dá as proposições atômicas e pede que se traduza para a linguagem simbólica a frase:
  • Proposições dadas:
    • p: “Fred tem cabelos vermelhos”
    • q: “Fred tem nariz grande”
    • r: “Fred gosta de comer figos”
  • Pedido: traduzir para a linguagem simbólica a proposição (f): “Não é o caso de Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos.”

Passo 2

Interpretar cuidadosamente a frase em português. "Não é o caso de A ou B" significa que toda a disjunção " A ou B " está negada como um todo. Ou seja, a negation aplica-se à expressão inteira “Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos”, não apenas a uma das partes isoladamente.

Passo 3

Recordando os símbolos lógicos básicos que vamos usar (explicação passo a passo e amigável):
  • Negação: o símbolo é \neg. Se X é uma proposição, então \neg X significa "não X". Por exemplo, se X = “hoje chove”, então \neg X = “não é o caso que hoje chove”.
  • Disjunção (ou): o símbolo é \lor. A \lor B significa " A ou B " (no sentido inclusivo: é verdadeiro se pelo menos um dos dois é verdadeiro).
  • Conjunção (e): o símbolo é \land. A \land B significa " A e B " (verdadeiro só quando ambos são verdadeiros).
  • Parênteses: servem para deixar claro a ordem em que os operadores agem. A negação \neg aplicada a uma expressão composta deve envolver essa expressão entre parênteses quando a negação recai sobre toda ela.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso. A parte interna “Fred ter nariz grande ou cabelos vermelhos” corresponde a q \lor p (repare que o enunciado dá q para “nariz grande” e p para “cabelos vermelhos”). Como a frase começa com “Não é o caso de …” negamos essa disjunção inteira. Logo a tradução direta é
\neg\bigl(q \lor p\bigr).

Passo 5

Explicação adicional útil (lei de De Morgan) e forma equivalente. A lei de De Morgan diz que a negação de uma disjunção é equivalente à conjunção das negações:
\neg\bigl(q \lor p\bigr)\equiv \neg q \land \neg p.
Interpretando: “não (q ou p)” é o mesmo que “não q e não p” — isto traduz o sentido coloquial “nem tem nariz grande nem tem cabelos vermelhos”.

Passo 6

Verificação rápida por casos (intuição com tabela de verdade reduzida). Há quatro possibilidades para os valores de p e q:
  • Se p é F e q é F: q\lor p é F, então \neg(q\lor p) é V; \neg q\land\neg p também é V.
  • Se p é V e q é F: q\lor p é V, então \neg(q\lor p) é F; \neg q\land\neg p também é F.
  • Se p é F e q é V: q\lor p é V, então \neg(q\lor p) é F; \neg q\land\neg p também é F.
  • Se p é V e q é V: q\lor p é V, então \neg(q\lor p) é F; \neg q\land\neg p também é F.
Isso confirma que \neg(q\lor p) e \neg q\land\neg p têm os mesmos valores lógicos em todos os casos.

Resposta

\neg\bigl(q \lor p\bigr)
\neg q \land \neg p

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