Considere um T.L T: U V. Provar que, se o conjunto T(u1), ldots, T(ur) é L.I em V, então u1, ldots, ur é L.I em U. Provar que, se T é injetora e u1, ldots, ur é L.I em U, então T(u1), ldots, T(ur) é L.I em V.
16. Provar que o R^2 é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do R^3.

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Primeiro, mostrar que, para uma transformação linear T:Uto V, se o conjunto T(u1),dots,T(ur) é linearmente independente em V, então u1,dots,ur é linearmente independente em U. Em seguida, provar que se T é injetora e u1,dots,ur é linearmente independente em U, então T(u1),dots,T(ur) é linearmente independente em V. Por fim, exibir um isomorfismo entre R^2 e qualquer subespaço de dimensão 2 de R^3. Vamos usar a definição de independência linear, a propriedade de linearidade de T e a injetividade para as duas primeiras partes, e na terceira parte construiremos explicitamente uma aplicação linear bijetiva.

Passo 2

Suponha que T(u1),dots,T(ur) seja linearmente independente em V. Para mostrar que u1,dots,ur é independente em U, considere uma combinação linear arbitrária
sumi=1^r alphai,ui ;=;0
Aplicando T em ambos os lados e usando a linearidade, obtemos
Tl(sumi=1^r alphai,uir) =sumi=1^r alphai,T(ui) =0
Como T(u1),dots,T(ur) é independente, segue que cada alphai=0. Logo u1,dots,ur é independente em U.

Passo 3

Agora suponha que T seja injetora e que u1,dots,ur seja linearmente independente em U. Para ver que T(u1),dots,T(ur) é independente em V, tome uma combinação
sumi=1^r betai,T(ui) =0
De novo, pela linearidade de T, isso é
Tl(sumi=1^r betai,uir) =0
Como T é injetora, o único vetor que manda em zero é o zero, então
sumi=1^r betai,ui =0
Pela independência de ui segue betai=0 para todo i. Portanto T(u1),dots,T(ur) é independente em V.

Passo 4

Seja Wsubset R^3 um subespaço de dimensão 2. Então existe uma base w1,w2 de W. Definimos
T: R^2to W, T(a,b)=a,w1+b,w2
É claro que T é linear pela definição. Para ver que T é injetora, note que
T(a,b)=0 ;Longrightarrow; a,w1+b,w2=0
e como w1,w2 é independente, resulta a=b=0. Para surjetividade, dado win W, escrevemos w=x,w1+y,w2 e então w=T(x,y). Assim T é bijetora e, portanto, um isomorfismo entre R^2 e W.

Resposta

Concluímos que (i) se T(u1),dots,T(ur) é L.I. então u1,dots,ur é L.I., (ii) se T é injetora e u1,dots,ur é L.I. então T(u1),dots,T(ur) é L.I., e (iii) R^2 é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 em R^3.

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