Considere um T.L
. Provar que, se o conjunto
é L.I em
, então
é L.I em
. Provar que, se
é injetora e
é L.I em
, então
é L.I em
.
16. Provar que o
é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 do
.
16. Provar que o
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Primeiro, mostrar que, para uma transformação linear
, se o conjunto
é linearmente independente em
, então
é linearmente independente em
. Em seguida, provar que se
é injetora e
é linearmente independente em
, então
é linearmente independente em
. Por fim, exibir um isomorfismo entre
e qualquer subespaço de dimensão 2 de
. Vamos usar a definição de independência linear, a propriedade de linearidade de
e a injetividade para as duas primeiras partes, e na terceira parte construiremos explicitamente uma aplicação linear bijetiva.
Passo 2
Suponha que
seja linearmente independente em
. Para mostrar que
é independente em
, considere uma combinação linear arbitrária
Aplicando
em ambos os lados e usando a linearidade, obtemos
Como
é independente, segue que cada
. Logo
é independente em
.
Passo 3
Agora suponha que
seja injetora e que
seja linearmente independente em
. Para ver que
é independente em
, tome uma combinação
De novo, pela linearidade de
, isso é
Como
é injetora, o único vetor que manda em zero é o zero, então
Pela independência de
segue
para todo
. Portanto
é independente em
.
Passo 4
Seja
um subespaço de dimensão 2. Então existe uma base
de
. Definimos
É claro que
é linear pela definição. Para ver que
é injetora, note que
e como
é independente, resulta
. Para surjetividade, dado
, escrevemos
e então
. Assim
é bijetora e, portanto, um isomorfismo entre
e
.
Resposta
Concluímos que (i) se
é L.I. então
é L.I., (ii) se
é injetora e
é L.I. então
é L.I., e (iii)
é isomorfo a qualquer subespaço de dimensão 2 em
.