(a) Dê exemplo de dois subespaços vetoriais tais que a união deles não é um subespaço vetorial. Interprete geometricamente o exemplo dado.
(b) Prove que a interseção de quaisquer dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.
(b) Prove que a interseção de quaisquer dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado trata de subespaços vetoriais em um espaço vetorial
. Lembrando que um subconjunto
é subespaço se e somente se:
-
. - Para quaisquer
, temos . - Para qualquer escalar
e , temos .
Passo 2
(a) Vamos ao exemplo em
. Defina
São subespaços (eixos
e
em
). A união
contém, por exemplo,
e
. Mas a soma
não pertence nem a
nem a
, logo não está em
. Assim,
falha em ser fechado sob soma e não é subespaço.
Geometricamente, é o “
” formado pelos dois eixos no plano; ao somar vetores em direções distintas, sai-se desse “
”.
Geometricamente,
Passo 3
(b) Seja
e
dois subespaços de um espaço vetorial
. Mostramos que
é subespaço:
- Como
e , segue . - Se
, então e . Como cada um é subespaço, e . Logo . - Para qualquer escalar
e , temos e , daí e . Logo .
Portantosatisfaz as três condições e é subespaço de .
Resposta
(a) Por exemplo, em
,
e
. A união
não é fechada sob soma, logo não é subespaço. Geometricamente, é o “
” dos eixos, onde somar vetores de eixos diferentes sai desse conjunto.
(b) A interseção de dois subespaços é subespaço, pois contém
e é fechada sob soma e multiplicação por escalar.
(b) A interseção