(a) Dê exemplo de dois subespaços vetoriais tais que a união deles não é um subespaço vetorial. Interprete geometricamente o exemplo dado.
(b) Prove que a interseção de quaisquer dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado trata de subespaços vetoriais em um espaço vetorial V. Lembrando que um subconjunto Ssubset V é subespaço se e somente se:
  1. 0in S.
  2. Para quaisquer u,vin S, temos u+vin S.
  3. Para qualquer escalar alpha e uin S, temos alpha uin S.

Passo 2

(a) Vamos ao exemplo em R^2. Defina
U = (x,0)mid xinR, W = (0,y)mid yinR
São subespaços (eixos x e y em R^2). A união
Ucup W
contém, por exemplo, (1,0)in U e (0,1)in W. Mas a soma
(1,0)+(0,1)=(1,1)
não pertence nem a U nem a W, logo não está em Ucup W. Assim, Ucup W falha em ser fechado sob soma e não é subespaço.
Geometricamente, Ucup W é o “ +” formado pelos dois eixos no plano; ao somar vetores em direções distintas, sai-se desse “ +”.

Passo 3

(b) Seja U e W dois subespaços de um espaço vetorial V. Mostramos que Ucap W é subespaço:
  1. Como 0in U e 0in W, segue 0in Ucap W.
  2. Se u,vin Ucap W, então u,vin U e u,vin W. Como cada um é subespaço, u+vin U e u+vin W. Logo u+vin Ucap W.
  3. Para qualquer escalar alpha e uin Ucap W, temos uin U e uin W, daí alpha uin U e alpha uin W. Logo alpha uin Ucap W.
    Portanto Ucap W satisfaz as três condições e é subespaço de V.

Resposta

(a) Por exemplo, em R^2, U=(x,0) e W=(0,y). A união Ucup W não é fechada sob soma, logo não é subespaço. Geometricamente, é o “ +” dos eixos, onde somar vetores de eixos diferentes sai desse conjunto.
(b) A interseção Ucap W de dois subespaços é subespaço, pois contém 0 e é fechada sob soma e multiplicação por escalar.

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