Seja W=f in mathscrC(R, R) mid f(0)=5. Defina em W as operações usuais de adição de funções e de multiplicação de função por escalar. Explique porque W não é um subespaço vetorial de mathscrC(R, R).

Passo 1

O enunciado define
W=finmathscrC(R,R)mid f(0)=5
e usa as operações usuais de soma e de escalar em mathscrC(R,R).
Para que W seja subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Conter o vetor zero (a função zero).
  2. Ser fechado sob adição.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero
0(x)=0 para todo xinR
está em W. Como
0(0)=0neq5,
a função zero não satisfaz a condição f(0)=5. Logo, 0notin W, e W já falha em conter o vetor zero.

Passo 3

Além disso, mesmo pegando duas funções quaisquer
f,gin W (isto é, f(0)=5 e g(0)=5),
ao somá-las obtemos
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=5+5=10neq5,
portanto f+gnotin W, mostrando que W também não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço vetorial de mathscrC(R,R) porque não contém a função zero e falha em ser fechado sob adição (e por consequência sob multiplicação por escalar).

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