Seja
. Defina em
as operações usuais de adição de funções e de multiplicação de função por escalar. Explique porque
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define
e usa as operações usuais de soma e de escalar em .
Para que seja subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três propriedades principais:
e usa as operações usuais de soma e de escalar em
Para que
- Conter o vetor zero (a função zero).
- Ser fechado sob adição.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
para todo
está em . Como
está em
a função zero não satisfaz a condição
. Logo,
, e
já falha em conter o vetor zero.
Passo 3
Além disso, mesmo pegando duas funções quaisquer
(isto é,
e
),
ao somá-las obtemos
ao somá-las obtemos
portanto
, mostrando que
também não é fechado sob adição.