Determine a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do R^2 em relação às bases indicadas:
(a) F(x, y)=(2 x, 3 y-x) e base canônica.
(b) F(x, y)=(3 x-4 y, x+5 y) e base beta=(1,2),(2,3).
21. Seja T: R^3 R^2 a transformação linear dada por
T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z)
(a) Mostre que T é linear.
(b) Determine N(T), Im(T) e suas dimensões. T é injetiva? Justifique.
(c) beta=(1,1,1) ;(-1,0,0) ;(1,1,0) e gamma=(1,3) ;(1,4), respectivamente, bases de R^3 e R^2, obtenha a matriz [T]gamma^beta da transformação.

Passo 1

O enunciado pede duas tarefas principais. Primeiro, para o operador F:R^2toR^2 dado em (a) e (b), determinar sua matriz em (a) na base canônica e em (b) na base beta=(1,2),(2,3). Depois, para a transformação linear T:R^3toR^2 dada em (21), devemos em (a) mostrar linearidade, em (b) achar núcleo N(T), imagem Im(T), suas dimensões e verificar injetividade, e em (c) obter a matriz de T relativa à base beta=(1,1,1),(-1,0,0),(1,1,0) de R^3 e à base gamma=(1,3),(1,4) de R^2.

Passo 2

Para (a) usamos a base canônica e1=(1,0), e2=(0,1). Calculamos
F(e1)=F(1,0)=(2cdot1,;3cdot0-1)=(2,-1),
F(e2)=F(0,1)=(2cdot0,;3cdot1-0)=(0,3)
As colunas da matriz são as imagens de e1 e e2, logo
[F]can=2 & 0-1 & 3

Passo 3

Para (b) tomamos v1=(1,2) e v2=(2,3). Primeiro,
F(v1)=F(1,2)=(3-8,;1+10)=(-5,11),
resolvendo (-5,11)=a,v1+b,v2 obtemos a=37, b=-21. Depois,
F(v2)=F(2,3)=(6-12,;2+15)=(-6,17),
resolvendo (-6,17)=c,v1+d,v2 obtemos c=52, d=-29. Assim
[F]beta=37 & 52-21 & -29

Passo 4

Para 21(a), T(x,y,z)=(2x+y-z,;3x-2y+4z). Verificamos que
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda u)=lambda,T(u),
pois cada coordenada de T é combinação linear de x,y,z. Logo T é linear.

Passo 5

Para 21(b) resolvemos
T(x,y,z)=(0,0);Longrightarrow; 2x+y-z=0, 3x-2y+4z=0
Dessas equações vem N(T)=span(2,-11,-7), dimN(T)=1. Como
T(e1)=(2,3),; T(e2)=(1,-2)
são linearmente independentes em R^2, Im(T)=R^2 e dimIm(T)=2. Como dimN(T)neq0, T não é injetiva.

Passo 6

Para 21(c) aplicamos T aos vetores de beta:
T(1,1,1)=(2,5),; T(-1,0,0)=(-2,-3),; T(1,1,0)=(3,1)
Expressamos cada resultado na base gamma=(1,3),(1,4) e obtemos colunas
[T]gamma^beta= 3 & -5 & 11 -1 & 3 & -8

Resposta

(a) [F]can=2 & 0-1 & 3
(b) [F]beta=37 & 52-21 & -29
21(a) T é linear porque satisfaz aditividade e homogeneidade.
21(b) N(T)=span(2,-11,-7), dimN(T)=1; Im(T)=R^2, dimIm(T)=2; T não é injetiva.
21(c) [T]gamma^beta=3 & -5 & 11-1 & 3 & -8.

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