Determine a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do em relação às bases indicadas:
(a) e base canônica.
(b) e base .
21. Seja a transformação linear dada por
(a) Mostre que é linear.
(b) Determine e suas dimensões. é injetiva? Justifique.
(c) e , respectivamente, bases de e , obtenha a matriz da transformação.
Passo 1
O enunciado pede duas tarefas principais. Primeiro, para o operador dado em (a) e (b), determinar sua matriz em (a) na base canônica e em (b) na base . Depois, para a transformação linear dada em (21), devemos em (a) mostrar linearidade, em (b) achar núcleo , imagem , suas dimensões e verificar injetividade, e em (c) obter a matriz de relativa à base de e à base de .
Passo 2
Para (a) usamos a base canônica , . Calculamos
As colunas da matriz são as imagens de e , logo
Passo 3
Para (b) tomamos e . Primeiro,
resolvendo obtemos , . Depois,
resolvendo obtemos , . Assim
Passo 4
Para 21(a), . Verificamos que
pois cada coordenada de é combinação linear de . Logo é linear.
Passo 5
Para 21(b) resolvemos
Dessas equações vem N(T)=span(2,-11,-7), dimN(T)=1. Como
T(e1)=(2,3),; T(e2)=(1,-2)
são linearmente independentes em R^2, Im(T)=R^2 e dimIm(T)=2. Como dimN(T)neq0, T não é injetiva.
21(a) T é linear porque satisfaz aditividade e homogeneidade.
21(b) N(T)=span(2,-11,-7), dimN(T)=1; Im(T)=R^2, dimIm(T)=2; T não é injetiva.
21(c) [T]gamma^beta=3 & -5 & 11-1 & 3 & -8.