Considere o PVI
(1+2 x^2) y^prime prime+3 x y^prime+2 y=0, y(0)=5, y^prime(0)=1
Encontre duas soluções fundamentais da equação diferencial, a solução geral e o intervalo de validade. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado.
a y(x)=5+x-3 x^2-52 x^3+3 x^4+cdots
e y(x)=5+x-3 x^2-52 x^3+5 x^4+cdots
b y(x)=5+x-5 x^2-52 x^3+5 x^4+cdots
f y(x)=5+x-5 x^2-56 x^3+3 x^4+cdots
square y(x)=5+x-5 x^2-56 x^3+5 x^4+cdots
g y(x)=5+x-3 x^2-56 x^3+5 x^4+cdots
d y(x)=5+x-5 x^2-52 x^3+3 x^4+cdots
h y(x)=5+x-3 x^2-56 x^3+3 x^4+cdots
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Passo 1

Estamos lidando com o PVI (1+2x^2)y'' + 3xy' + 2y = 0, com condições y(0)=5 e y'(0)=1. Como 1+2x^2 nunca zera em R, x=0 é ponto ordinário e podemos usar séries de potências em torno de 0 para achar as soluções fundamentais, a solução geral, o raio de convergência e depois ajustar aos dados iniciais.

Passo 2

Suponha uma solução em série da forma
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
logo
y'(x)=sumn=1^inftyn anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2

Passo 3

Substituindo na EDO e igualando coeficientes de x^m a zero obtemos, para m=0,
2a2 + 2a0 = 0 implies a2 = -a0,
e, para m>=1,
(m+2)(m+1)am+2 + l(2m(m-1)+3m+2r)am = 0
o que leva à recorrência
am+2 = -2m^2 + m + 2(m+2)(m+1),am

Passo 4

Pelos dados iniciais temos a0=y(0)=5 e a1=y'(0)=1. Assim
a2=-5, a3=-56, a4=5, a5=2324,dots
logo a série da solução que satisfaz o PVI começa
y(x)=5 + 1,x -5,x^2 -56x^3 +5x^4 + cdots

Passo 5

Para obter as duas soluções fundamentais definimos dois conjuntos de coeficientes:
  1. a0=1,,a1=0 dá uma solução par
y1(x)=1 - x^2 +5x^4 -193x^6 +cdots,
  1. a0=0,,a1=1 dá uma solução ímpar
y2(x)=x - 56x^3 + 2324x^5 +cdots

Passo 6

A solução geral fica
y(x)=C1y1(x) + C2y2(x),
com raio de convergência dado pela distância até o pólo mais próximo em 1+2x^2=0, i.e. |x|<1/raiz2.

Passo 7

Comparando a expansão do PVI com as alternativas fornecidas, vemos que só a que tem
y(x)=5 + x -5x^2 -56x^3 +5x^4 +cdots
coincide com nossos an.

Resposta

y(x)=5 + x -5x^2 -\frac{5}{6}x^3 +5x^4 + \cdots

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