Considere o PVI
Encontre duas soluções fundamentais da equação diferencial, a solução geral e o intervalo de validade. Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado.
a
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b
f
g
d
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Passo 1
Estamos lidando com o PVI
, com condições
e
. Como
nunca zera em
,
é ponto ordinário e podemos usar séries de potências em torno de 0 para achar as soluções fundamentais, a solução geral, o raio de convergência e depois ajustar aos dados iniciais.
Passo 2
Suponha uma solução em série da forma
logo
Passo 3
Substituindo na EDO e igualando coeficientes de
a zero obtemos, para
,
e, para
,
o que leva à recorrência
Passo 4
Pelos dados iniciais temos
e
. Assim
logo a série da solução que satisfaz o PVI começa
Passo 5
Para obter as duas soluções fundamentais definimos dois conjuntos de coeficientes:
-
dá uma solução par
-
dá uma solução ímpar
Passo 6
A solução geral fica
com raio de convergência dado pela distância até o pólo mais próximo em
, i.e.
.
Passo 7
Comparando a expansão do PVI com as alternativas fornecidas, vemos que só a que tem
coincide com nossos
.
Resposta
y(x)=5 + x -5x^2 -\frac{5}{6}x^3 +5x^4 + \cdots