Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
u^prime prime+4 u^prime+52 u=0, u(0)=-3, u^prime(0)=42
Encontre a aolução geral da equação diferencial e determine a solução do PVI.
a u(t)=6 e^-2 t cos (4 raiz3 t-7 pi6)
e u(t)=4 e^-2 t cos (4 raiz3 t-5 pi3)
b u(t)=6 e^-2 t cos (4 raiz3 t-5 pi3)
square u(t)=6 e^-2 t cos (4 raiz3 t-2 pi3)
c u(t)=4 e^-2 t cos (4 raiz3 t-5 pi6)
g u(t)=6 e^-2 t cos (4 raiz3 t-5 pi6)
d u(t)=4 e^-2 t cos (4 raiz3 t-7 pi6)
h u(t)=4 e^-2 t cos (4 raiz3 t-2 pi3)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI
u''+4u'+52u=0, u(0)=-3,;u'(0)=42
Esse é um EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, então vamos usar a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2+4r+52=0
Resolvendo-a com a fórmula de Bhaskara:
r=-4pmraiz4^2-4cdot1cdot522=-2pm i4raiz3

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas alphapm ibeta com alpha=-2 e beta=4raiz3, a solução geral é
u(t)=e^-2tl(Acos(4raiz3,t)+Bsin(4raiz3,t)r)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
u(0)=A=-3
Para u'(t) usamos regra do produto:
u'(t)=e^-2t[(-2A+B,4raiz3)cos(4raiz3 t)+(-2B-A,4raiz3)sin(4raiz3 t)]
Em t=0 isso dá
u'(0)=-2A+4raiz3,B=42
Substituindo A=-3:
6+4raiz3,B=42implies4raiz3,B=36implies B=3raiz3

Passo 5

Para escrever em forma de cosseno com fase, calculamos amplitude e fase:
R=raizA^2+B^2=raiz9+27=6,cosphi=AR=-tfrac12,;sinphi=BR=raiz32impliesphi=tfrac2pi3
Assim a solução do PVI é
$$u(t)=6e^{-2t}\cos\bigl(4\sqrt3,t-\tfrac{2\pi}{3}\bigr).
$$

Resposta

u(t)=6e^{-2t}\cos\bigl(4\sqrt3,t-\tfrac{2\pi}{3}\bigr)

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