Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a forma da solução estacionária e a determine. Qual das alternativas representa a solução estacionária?
a
e.
b
f
g
(d
h
a
e.
b
f
g
(d
h
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender qual é o problema. A gente tem uma equação diferencial do tipo massa-mola com algumas condições iniciais. A equação é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução estacionária dessa equação. A solução estacionária é aquela que representa o comportamento da solução quando o tempo vai para o infinito, ou seja, o sistema estabiliza e oscila de forma constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares não homogêneas e como encontrar soluções particulares.
Passo 2
A primeira coisa que fazemos em equações diferenciais lineares é encontrar a solução complementar (ou solução geral da equação homogênea) e a solução particular (solução específica da equação não homogênea). A solução complementar é útil para entender o comportamento geral da solução, mas como estamos focando na solução estacionária, vamos direto para a solução particular.
A equação não homogênea é:
Para encontrar a solução particular, assumimos uma forma semelhante ao lado direito da equação, que é uma função seno. Portanto, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
é a amplitude e
é a fase que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos substituir nossa suposição
na equação diferencial para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Simplificando mais:
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos igualar os coeficientes das funções seno e cosseno dos dois lados da equação. Para isso, usamos a identidade de seno de diferença:
Aplicando isso à função
:
Substituindo de volta na equação:
Agrupando os termos:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar os termos para facilitar a comparação:
Agora, comparando os coeficientes das funções seno e cosseno dos dois lados da equação:
Para o termo em
:
Para o termo em
:
Passo 6
Da primeira equação
, sabemos que
. Isso implica que:
Vamos escolher
para simplificar.
Substituindo
na segunda equação:
Sabemos que
, então:
Como a amplitude
representa um valor positivo, podemos considerar
e ajustar a fase se necessário.
Passo 7
Então, nossa solução particular fica:
Mas observando as opções fornecidas, precisamos ajustar a fase para combinar com uma das alternativas. Usando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever:
Contudo, as alternativas estão em termos de cosseno com diferentes fases. Portanto, precisamos ajustar a nossa solução para a forma de cosseno.
Passo 8
Queremos expressar
em termos de cosseno:
Portanto, nossa solução particular pode ser escrita como:
Simplificando
, temos aproximadamente
, mas observando as opções, percebemos que nenhuma delas tem
. Isso indica que precisamos revisar nossos cálculos.
Passo 9
Vamos voltar e verificar onde podemos ter simplificado de forma incorreta.
Ao resolver a equação para
, tínhamos:
No entanto, percebemos que foi cometido um erro na conversão. O correto é:
Mas como a amplitude
pode ser positiva ou negativa, e considerando a fase
, mantemos
, ajustando a fase:
Resposta
A solução estacionária é:
Portanto, a alternativa correta é a d.