Encontre uma solução para
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Passo 1
No enunciado temos a EDO de segunda ordem y’’ - 2 x y = 0 com as condições y(0) = -2 e y’(0) = 5. Para resolver, vamos usar o método de séries de potências em torno de x = 0, pois os coeficientes são polinomiais em x.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências:
Derivando termo a termo, obtemos
Passo 3
Substituímos essas séries na EDO:
Reindexando o primeiro somatório com m=n-2 e o segundo com m=n+1, chega-se a
Passo 4
Igualando coeficientes de cada potência de x, no termo constante (m=0) vem 2a_2=0 e, para m≥1,
logo a recorrência
Passo 5
Usando as condições iniciais, temos a_0=y(0)=-2 e a_1=y’(0)=5. Da recorrência se obtêm:
a_2=0,
a_3=\tfrac{2a_0}{3·2}=\tfrac{a_0}{3}=-\tfrac{2}{3},
a_4=\tfrac{2a_1}{4·3}=\tfrac{a_1}{6}=\tfrac{5}{6},
a_5=0,
a_6=\tfrac{2a_3}{6·5}=-\tfrac{2}{45}, etc.
a_2=0,
a_3=\tfrac{2a_0}{3·2}=\tfrac{a_0}{3}=-\tfrac{2}{3},
a_4=\tfrac{2a_1}{4·3}=\tfrac{a_1}{6}=\tfrac{5}{6},
a_5=0,
a_6=\tfrac{2a_3}{6·5}=-\tfrac{2}{45}, etc.
Passo 6
Substituindo esses coeficientes, escrevemos a solução em série: