Encontre uma solução para y^prime prime-2 x y=0 com y(0)=-2 e y^prime(0)=5.

Passo 1

No enunciado temos a EDO de segunda ordem y’’ - 2 x y = 0 com as condições y(0) = -2 e y’(0) = 5. Para resolver, vamos usar o método de séries de potências em torno de x = 0, pois os coeficientes são polinomiais em x.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências:
y(x)=sumn=0^infty an x^n
Derivando termo a termo, obtemos
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2

Passo 3

Substituímos essas séries na EDO:
sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 - 2xsumn=0^infty an x^n = 0
Reindexando o primeiro somatório com m=n-2 e o segundo com m=n+1, chega-se a
summ=0^infty (m+2)(m+1)am+2x^m - 2summ=1^infty am-1x^m =0

Passo 4

Igualando coeficientes de cada potência de x, no termo constante (m=0) vem 2a_2=0 e, para m≥1,
(m+2)(m+1)am+2 - 2am-1 = 0,
logo a recorrência
am+2 = 2,am-1(m+2)(m+1)

Passo 5

Usando as condições iniciais, temos a_0=y(0)=-2 e a_1=y’(0)=5. Da recorrência se obtêm:
a_2=0,
a_3=\tfrac{2a_0}{3·2}=\tfrac{a_0}{3}=-\tfrac{2}{3},
a_4=\tfrac{2a_1}{4·3}=\tfrac{a_1}{6}=\tfrac{5}{6},
a_5=0,
a_6=\tfrac{2a_3}{6·5}=-\tfrac{2}{45}, etc.

Passo 6

Substituindo esses coeficientes, escrevemos a solução em série:
y(x) = -2 + 5x - 23x^3 + 56x^4 - 245x^6 + cdots

Resposta

y(x) = -2 + 5x - 23x^3 + 56x^4 - 245x^6 + cdots

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