Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
Passo 1
O problema nos dá o PVI
e pede para verificar se satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade para equações de primeira ordem. Para isso, precisamos colocar a equação na forma normal e checar se e são contínuas numa vizinhança do ponto .
Passo 2
Isolamos . Dividindo ambos os lados por , obtemos
Passo 3
O teorema de existência e unicidade exige que e sejam contínuas numa região aberta que contenha o ponto inicial . Como é quociente de polinômios, sabemos que:
Numerador e denominador são funções polinomiais, logo infinitamente diferenciáveis.
As únicas possíveis descontinuidades vêm de pontos em que o denominador se anula.
Passo 4
Verificamos o denominador no ponto :
Como o denominador vale 1 em (0,1), pelo fato de ser uma função contínua existe um retângulo em torno de (0,1) onde o denominador permanece diferente de zero. Nessa região, f e partial f/partial y são contínuas.
Resposta
Sim. O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade, pois ao escrevê-lo na forma
dydx =3x^2y^3+2xy^4y^5+3x^3y^2+2x^2y^3,
vemos que o denominador é não nulo em (0,1), garantindo que f e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança desse ponto.