Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
l (y^5+3 x^3 y^2+2 x^2 y^3) d yd x=3 x^2 y^3+2 x y^4 y(0)=1
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?

Passo 1

O problema nos dá o PVI
l(y^5+3 x^3y^2+2 x^2y^3r),dydx=3x^2y^3+2xy^4, y(0)=1,
e pede para verificar se satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade para equações de primeira ordem. Para isso, precisamos colocar a equação na forma normal tfracdydx=f(x,y) e checar se f e partial f/partial y são contínuas numa vizinhança do ponto (0,1).

Passo 2

Isolamos tfracdydx. Dividindo ambos os lados por y^5+3 x^3y^2+2 x^2y^3, obtemos
dydx =;f(x,y) =;3x^2y^3+2xy^4y^5+3x^3y^2+2x^2y^3

Passo 3

O teorema de existência e unicidade exige que f(x,y) e dfracpartial fpartial y(x,y) sejam contínuas numa região aberta D que contenha o ponto inicial (0,1). Como f é quociente de polinômios, sabemos que:
  1. Numerador e denominador são funções polinomiais, logo infinitamente diferenciáveis.
  2. As únicas possíveis descontinuidades vêm de pontos em que o denominador se anula.

Passo 4

Verificamos o denominador no ponto (0,1):
y^5+3x^3y^2+2x^2y^3|(0,1) =1^5+3cdot0^3cdot1^2+2cdot0^2cdot1^3 =1neq0
Como o denominador vale 1 em (0,1), pelo fato de ser uma função contínua existe um retângulo em torno de (0,1) onde o denominador permanece diferente de zero. Nessa região, f e partial f/partial y são contínuas.

Resposta

Sim. O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade, pois ao escrevê-lo na forma
dydx =3x^2y^3+2xy^4y^5+3x^3y^2+2x^2y^3,
vemos que o denominador é não nulo em (0,1), garantindo que f e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança desse ponto.

Exercícios relacionados