Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
- Qual a solução geral dessa EDO ?
- A solução constante
é solução dessa EDO?
- O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
- Existe solução única? Qual é?
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial de primeira ordem. Note que o numerador e o denominador do lado direito são homogêneos de grau 5 em
, ou seja,
são soma de termos todos de grau 5. Isso indica que podemos usar a substituição para equações homogêneas,
.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por
(assumindo que esse fator não se anula) para escrever
Como a fração do lado direito depende apenas do quociente
, definimos
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Reorganizando,
Logo é uma equação separável:
Passo 4
Integramos cada lado. No lado de
:
No lado de
:
Igualando e absorvendo constantes em
:
Passo 5
Voltando a
e
, como
temos
e
. Além disso
. Logo a solução geral implícita fica
Passo 6
Verificamos se
é solução. Substituir
no lado direito original faz o denominador
anular-se em
ou ficar indefinido em geral. Além disso o passo de divisão por esse termo fica inviável. Portanto
não é solução da EDO.
Passo 7
Para o PVI, definimos a função
No ponto inicial
o denominador vale
, e tanto
como
são contínuas numa vizinhança de
. Logo satisfazem as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade.
Passo 8
Como existe solução única que passa por
, basta determinar
em
substituindo
,
. Isso dá
A solução única implícita do PVI é
Resposta
Solução geral implícita:
A solução constante
não serve.
O PVI satisfaz as condições de existência e unicidade (denominador não nulo em ).
Existe solução única, dada por
O PVI satisfaz as condições de existência e unicidade (denominador não nulo em
Existe solução única, dada por