Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=l (y^5+5 x^5+x y^4) d yd x=5 x^4 y+y^5 y(0)=1
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução constante y=0 é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
PVI= l(y^5+5x^5+x,y^4r),dydx=5x^4y+y^5, y(0)=1,
que é uma equação diferencial de primeira ordem. Note que o numerador e o denominador do lado direito são homogêneos de grau 5 em (x,y), ou seja,
5x^4y+y^5 e y^5+5x^5+x,y^4
são soma de termos todos de grau 5. Isso indica que podemos usar a substituição para equações homogêneas, u=y/x.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por y^5+5x^5+x,y^4 (assumindo que esse fator não se anula) para escrever
dydx =5x^4y+y^5,y^5+5x^5+x,y^4,
Como a fração do lado direito depende apenas do quociente y/x, definimos
u=yx Longrightarrow y=ux, dydx=u+xdudx

Passo 3

Substituindo em dydx=cdots obtemos
u + xdudx =5x^4(ux)+(ux)^5(ux)^5+5x^5+x,(ux)^4 =x^5(5u+u^5)x^5(u^5+u^4+5) =5u+u^5u^5+u^4+5
Reorganizando,
l(u^5+u^4+5r)l(u + xdudxr)=5u+u^5 ;Longrightarrow; l(u^5+u^4+5r),xdudx=-u^6
Logo é uma equação separável:
u^5+u^4+5u^6,du=-dxx

Passo 4

Integramos cada lado. No lado de u:
integral u^5+u^4+5u^6,du =integrall(u^-1+u^-2+5u^-6r),du =ln|u| -u^-1 -u^-5+C1
No lado de x:
integral -dxx =-ln|x|+C2
Igualando e absorvendo constantes em C:
ln|u| -u^-1 -u^-5 = -ln|x| + C

Passo 5

Voltando a y e x, como u=y/x temos u^-1=x/y e u^-5=x^5/y^5. Além disso
ln|u|+ln|x|=ln|y|. Logo a solução geral implícita fica
ln|y| ;-;xy;-;x^5y^5=C

Passo 6

Verificamos se y=0 é solução. Substituir y=0 no lado direito original faz o denominador y^5+5x^5+x,y^4 anular-se em x=0 ou ficar indefinido em geral. Além disso o passo de divisão por esse termo fica inviável. Portanto y=0 não é solução da EDO.

Passo 7

Para o PVI, definimos a função
f(x,y)=5x^4y+y^5,y^5+5x^5+x,y^4,
No ponto inicial (0,1) o denominador vale 1neq0, e tanto f como partial f/partial y são contínuas numa vizinhança de (0,1). Logo satisfazem as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade.

Passo 8

Como existe solução única que passa por (0,1), basta determinar C em
ln|y|-xy-x^5y^5=C
substituindo x=0, y(0)=1. Isso dá
ln1 - 0 -0 = C Longrightarrow C=0
A solução única implícita do PVI é
boxedln|y|-xy-x^5y^5=0

Resposta

Solução geral implícita:
ln|y|-xy-x^5y^5=C
A solução constante y=0 não serve.
O PVI satisfaz as condições de existência e unicidade (denominador não nulo em (0,1)).
Existe solução única, dada por
ln|y|-xy-x^5y^5=0

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