Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
Existe solução única? Qual é?
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
O conteúdo é análise de existência e unicidade de solução via Picard– Lindelöf e depois resolução da EDO.
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma
No ponto
o denominador vale
, e o numerador é contínuo e
numa vizinhança. Logo, pela teoria de existência e unicidade (Picard– Lindelöf), existe uma única solução local passando por
.
Passo 3
Simplificamos a razão:
Essa forma sugere a substituição
, de modo a transformar em uma EDO separável.
Passo 4
Com
temos
e a expressão fica
Isolando
:
que é separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Calculando a integral à esquerda:
Logo
Passo 6
Voltando a
e
:
implica
,
e
. Assim
Usando
obtemos
. Portanto a solução implícita é
Resposta
Existe solução única local por Picard– Lindelöf e ela é dada implicitamente por
com
.