Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
l (y^5+3 x^3 y^2+2 x^2 y^3) d yd x=3 x^2 y^3+2 x y^4 y(0)=1
Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
l(y^5+3x^3y^2+2x^2y^3r),dfracdydx =3x^2y^3+2x,y^4, y(0)=1
O conteúdo é análise de existência e unicidade de solução via Picard– Lindelöf e depois resolução da EDO.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma
dfracdydx =dfrac3x^2y^3+2x,y^4,y^5+3x^3y^2+2x^2y^3,
No ponto (0,1) o denominador vale 1neq0, e o numerador é contínuo e C^1 numa vizinhança. Logo, pela teoria de existência e unicidade (Picard– Lindelöf), existe uma única solução local passando por (0,1).

Passo 3

Simplificamos a razão:
dfrac3x^2y^3+2x,y^4,y^5+3x^3y^2+2x^2y^3, =dfracx,y,(3x+2y),y^3+x^2(3x+2y),
Essa forma sugere a substituição t=dfracyx, de modo a transformar em uma EDO separável.

Passo 4

Com y=xt temos
dydx=t+x,dtdx,
e a expressão fica
t+xdtdx =x,(xt),l(3x+2,xtr)(xt)^3+x^2l(3x+2,xtr) =t(3+2t)t^3+2t+3
Isolando dt/dx:
xdtdx =t(3+2t)t^3+2t+3-t =-t^4,t^3+2t+3,,
que é separável:
t^3+2t+3t^4,dt=-dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integrall(t^-1+2t^-3+3t^-4r),dt =-integraldxx
Calculando a integral à esquerda:
integral t^-1dt=ln|t|, integral2t^-3dt=-t^-2, integral3t^-4dt=-t^-3
Logo
ln|t|-t^-2-t^-3=-ln|x|+C

Passo 6

Voltando a y e x: t=y/x implica t^-2=x^2/y^2, t^-3=x^3/y^3 e ln|t|=ln|y|-ln|x|. Assim
ln|y|-ln|x| -x^2y^2 -x^3y^3 =-ln|x|+C ;Longrightarrow; ln|y|-x^2y^2-x^3y^3=C
Usando y(0)=1 obtemos C=0. Portanto a solução implícita é
boxedln y =x^2y^2 +x^3y^3, y>0

Resposta

Existe solução única local por Picard– Lindelöf e ela é dada implicitamente por
ln y =x^2y^2 +x^3y^3,
com y(0)=1.

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