Exercício 7 Encontre o valor de k para o qual a solução do PVI
y^prime-y=1+3 cdot sen(t), com y(0)=k
permanece finita quando t longrightarrow infty.

Passo 1

O enunciado dá um PVI de equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 1 + 3sin(t), y(0)=k
e pede o valor de k para que a solução permaneça finita quando ttoinfty. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

A equação tem a forma y' - y = g(t). O fator integrante é
mu(t) = e^-integral 1,dt = e^-t
Multiplicando ambos os lados por mu(t) obtemos
ddtl(e^-tyr) = e^-tl(1+3sin tr)
Agora integramos em t:
e^-ty = integral e^-t,dt + 3integral e^-tsin t,dt + C
Sabendo que integral e^-t,dt=-e^-t e
integral e^-tsin t,dt = -e^-t2l(sin t+cos tr),
temos
e^-ty = -e^-t - 32e^-tl(sin t+cos tr) + C
Multiplicando por e^t, a solução geral é
y(t) = -1 - 32l(sin t+cos tr) + C,e^t

Passo 3

Impondo a condição inicial y(0)=k, temos
y(0) = -1 - 32(0+1) + C = -52 + C = k ;Longrightarrow; C = k + 52
Logo
y(t) = -1 - tfrac32(sin t+cos t) + l(k+tfrac52r)e^t

Passo 4

Para que y(t) permaneça finita quando ttoinfty, o termo que cresce como e^t deve desaparecer, ou seja
k + 52 = 0

Resposta

k = -52

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