Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=l (y^9+5 x^5 y^4+x y^8) d yd x=5 x^4 y^5+y^9 y(0)=1
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução constante y=0 é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
l(y^9+5x^5y^4+x,y^8r),dfracdydx=5x^4y^5+y^9, y(0)=1,
que é uma EDO de primeira ordem. Vamos colocar em forma explícita
dfracdydx =dfrac5x^4y^5+y^9y^9+5x^5y^4+x,y^8
e observar que o numerador e o denominador são polinômios homogêneos de grau 9 em (x,y). Isso indica que a EDO é do tipo homogêneo e podemos usar a substituição
y=vx

Passo 2

Fazendo y=vx temos
dfracdydx =v + x,dfracdvdx
No lado direito, fatoramos x^9:
5x^4y^5+y^9 =x^9l(5v^5+v^9r), y^9+5x^5y^4+x,y^8 =x^9l(v^9+5v^4+v^8r)
Logo
v + x,dfracdvdx =dfrac5v^5+v^9v^9+5v^4+v^8

Passo 3

Isolamos dv/dx:
x,dfracdvdx =dfrac5v^5+v^9v^9+5v^4+v^8-v =,-dfracv^10v^9+5v^4+v^8 =-dfracv^6v^5+v^4+5
Portanto
dfracdvdx =-,dfracv^6x,(v^5+v^4+5),
que é separável.

Passo 4

Separamos e integramos:
integral!v^5+v^4+5v^6,dv =-integral!dxx
No lado esquerdo
v^5+v^4+5v^6 =v^-1+v^-2+5v^-6,
cuja integral é
integral(v^-1+v^-2+5v^-6),dv =ln|v| - v^-1 - v^-5
No lado direito
-integraldxx=-ln|x|+C
Assim obtemos
ln|v| - 1v - 1v^5 =-ln|x|+C

Passo 5

Voltando a v=y/x, note que ln|v|+ln|x|=ln|y| e
1v=xy, 1v^5=x^5y^5. Logo a solução geral implícita é
ln|y| ;-;xy;-;x^5y^5=C

Passo 6

Verificamos se y=0 constante satisfaz a EDO original. Neste caso dy/dx=0 e o LHS e o RHS tornam-se
l(0^9+5x^5cdot0^4+xcdot0^8r)cdot0=0, 5x^4cdot0^5+0^9=0,
logo 0=0. Portanto y=0 é de fato solução da EDO, mas não satisfaz y(0)=1.

Passo 7

Para o PVI escrito como
,dy/dx=f(x,y),
o teorema de existência e unicidade exige que f e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança de (0,1). Aqui
f(x,y) =5x^4y^5+y^9y^9+5x^5y^4+x,y^8
é razão de polinômios e no ponto (0,1) o denominador vale 1neq0. Logo f e suas derivadas parciais em y são contínuas perto de (0,1). Assim o PVI satisfaz as hipóteses do teorema e há solução única local.

Passo 8

Impondo y(0)=1 na solução geral
ln|y| - x/y - x^5/y^5=C,
quando x=0, y=1 ln1-0-0=Cimplies C=0.
Portanto a solução única que satisfaz o PVI é dada implicitamente por
boxedln|y| ;-;xy;-;x^5y^5=0

Resposta

A solução geral implícita é
ln|y| - xy - x^5y^5 = C
Sim, y=0 é solução da EDO (mas não satisfaz y(0)=1).
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade (denominador ≠0 em (0,1)).
Há solução única local, dada por
ln|y| - xy - x^5y^5 = 0

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