Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
- Qual a solução geral dessa EDO ?
- A solução constante
é solução dessa EDO?
- O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
- Existe solução única? Qual é?
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
que é uma EDO de primeira ordem. Vamos colocar em forma explícita
e observar que o numerador e o denominador são polinômios homogêneos de grau 9 em
. Isso indica que a EDO é do tipo homogêneo e podemos usar a substituição
Passo 2
Fazendo
temos
No lado direito, fatoramos
:
Logo
Passo 3
Isolamos
:
Portanto
que é separável.
Passo 4
Separamos e integramos:
No lado esquerdo
cuja integral é
No lado direito
Assim obtemos
Passo 5
Voltando a
, note que
e
,
. Logo a solução geral implícita é
Passo 6
Verificamos se
constante satisfaz a EDO original. Neste caso
e o LHS e o RHS tornam-se
logo
. Portanto
é de fato solução da EDO, mas não satisfaz
.
Passo 7
Para o PVI escrito como
,
o teorema de existência e unicidade exige que e
sejam contínuas numa vizinhança de
. Aqui
o teorema de existência e unicidade exige que
é razão de polinômios e no ponto
o denominador vale
. Logo
e suas derivadas parciais em
são contínuas perto de
. Assim o PVI satisfaz as hipóteses do teorema e há solução única local.
Passo 8
Impondo
na solução geral
,
quando ,
dá
.
Portanto a solução única que satisfaz o PVI é dada implicitamente por
quando
Portanto a solução única que satisfaz o PVI é dada implicitamente por
Resposta
A solução geral implícita é
Sim,
é solução da EDO (mas não satisfaz
).
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade (denominador ≠0 em ).
Há solução única local, dada por
O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade (denominador ≠0 em
Há solução única local, dada por