Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
y{\prime}(x)=e{2 x}+y(x)-1$.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'(x)=e^2x+y(x)-1
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos colocá-la na forma padrão
y'(x)+p(x),y(x)=q(x)
e então encontrar o fator integrante mu(x).

Passo 2

Escrevendo em forma padrão, isolamos o termo em y:
y'(x)-y(x)=e^2x-1
Aqui identificamos
p(x)=-1, q(x)=e^2x-1

Passo 3

O fator integrante é dado por
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral -1,dxr) =e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x:
e^-xy'(x)-e^-xy(x) =e^-xl(e^2x-1r) =e^x-e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^-xy(x), pois
ddxl(e^-xy(x)r) =e^-xy'(x)+(-e^-x)y(x) =e^-xy'(x)-e^-xy(x)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^-xy(x)r),dx =integrall(e^x-e^-xr),dx
e^-xy(x) =integral e^x,dx -integral e^-x,dx =e^x + e^-x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y(x), multiplicamos ambos os lados por e^x:
y(x)=e^xl(e^x+e^-x+Cr) =e^2x+1+Ce^x

Resposta

Fator integrante: mu(x)=e^-x
Solução geral: y(x)=e^2x+1+Ce^x, onde C é constante de integração.

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