Sketch the curve with the given polar equation.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
O conteúdo envolvido é o estudo de curvas polares, em particular o reconhecimento de uma limacon de Pascal com ângulo “metade” e análise de pontos críticos (máximos, mínimos, zeros) e simetrias para traçar o gráfico.
Passo 2
Para simplificar, faça a mudança de variável
de modo que
Sabemos que a família
é uma limacon de Pascal; aqui
,
, e como
teremos um laço interno.
Passo 3
Determine o intervalo de varredura completo. Como
deve percorrer um ciclo inteiro em
, a variável original
varre
Isso garante que o gráfico de
seja traçado uma vez por completo.
Passo 4
Calcule valores notáveis de
e os respectivos
e
:
Além disso,
quando
, ou seja
Entre
temos
, gerando o laço interno (os pontos com
são plotados no sentido oposto de
).
Passo 5
Com esses dados, esboce a curva:
- Para
e , no eixo polar positivo. - À medida que
vai até , decresce até 1. - Em
, faz apontar um ponto a uma unidade para a esquerda do polo, iniciando o laço interno. - Os zeros em
e delimitam onde o laço começa e termina. - Para
de a , volta de 1 a 3 fechando o contorno externo.
O resultado é uma limacon de Pascal com laço interno, simétrica em relação ao eixo polar.
Resposta
A curva é uma limacon de Pascal com laço interno, traçada para
, com raio máximo
nos ângulos
e
, raio mínimo efetivo
no laço interno e zeros em
e
.