Sketch the curve with the given polar equation.
r=1+2 cos (theta / 2)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares dada por
r = 1 + 2cosl(tfractheta2r)
O conteúdo envolvido é o estudo de curvas polares, em particular o reconhecimento de uma limacon de Pascal com ângulo “metade” e análise de pontos críticos (máximos, mínimos, zeros) e simetrias para traçar o gráfico.

Passo 2

Para simplificar, faça a mudança de variável
phi = tfractheta2,
de modo que
r = 1 + 2cosphi
Sabemos que a família r = a + bcosphi é uma limacon de Pascal; aqui a=1, b=2, e como b>a teremos um laço interno.

Passo 3

Determine o intervalo de varredura completo. Como phi deve percorrer um ciclo inteiro em [0,2pi], a variável original theta varre
theta in [0,,4pi]
Isso garante que o gráfico de r(theta) seja traçado uma vez por completo.

Passo 4

Calcule valores notáveis de phi e os respectivos theta e r:
phi=0 &implies theta=0, r=1+2cdot1=3, phi=tfracpi2 &implies theta=pi, r=1+2cdot0=1, phi=pi &implies theta=2pi, r=1+2cdot(-1)=-1, phi=tfrac3pi2 &implies theta=3pi, r=1+2cdot0=1, phi=2pi &implies theta=4pi, r=1+2cdot1=3
Além disso, r=0 quando cosphi=-tfrac12, ou seja
phi=tfrac2pi3,;tfrac4pi3 Longrightarrow theta=tfrac4pi3,;tfrac8pi3
Entre phiin(2pi/3,4pi/3) temos r<0, gerando o laço interno (os pontos com r<0 são plotados no sentido oposto de theta).

Passo 5

Com esses dados, esboce a curva:
  • Para theta=0 e theta=4pi, r=3 no eixo polar positivo.
  • À medida que theta vai até pi, r decresce até 1.
  • Em theta=2pi, r=-1 faz apontar um ponto a uma unidade para a esquerda do polo, iniciando o laço interno.
  • Os zeros em theta=4pi/3 e 8pi/3 delimitam onde o laço começa e termina.
  • Para theta de 3pi a 4pi, r volta de 1 a 3 fechando o contorno externo.
    O resultado é uma limacon de Pascal com laço interno, simétrica em relação ao eixo polar.

Resposta

A curva é uma limacon de Pascal com laço interno, traçada para thetain[0,4pi], com raio máximo r=3 nos ângulos 0 e 4pi, raio mínimo efetivo lvert rrvert=1 no laço interno e zeros em theta=4pi/3 e 8pi/3.

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