Verifique quais das EDO’s de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(\cos (x)+\ln (y(x))) d x+\left(\frac{x}{y(x)}+e^{y(x)}\right) d y=0.
(\cos (x)+\ln (y(x))) d x+\left(\frac{x}{y(x)}+e^{y(x)}\right) d y=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
Queremos verificar se ela é exata, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para obter
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função que ainda depende só de
.
Passo 4
Determinar
exigindo
Isto implica
Logo
Resposta
A equação é exata, e sua solução implícita geral é
onde
é constante de integração.