Verifique quais das EDO’s de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(\cos (x)+\ln (y(x))) d x+\left(\frac{x}{y(x)}+e^{y(x)}\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
l(cos(x)+ln(y)r),dx + l(xy+e^yr),dy = 0
Queremos verificar se ela é exata, ou seja, se existe uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y) = cos(x)+ln(y), partial Phipartial y = N(x,y) = xy+e^y

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y = partialpartial yl(cos(x)+ln(y)r) = 1y,
partial Npartial x = partialpartial xl(xy+e^yr) = 1y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter Phi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y) = integrall(cos(x)+ln(y)r),dx = sin(x) + xln(y) + h(y),
onde h(y) é uma função que ainda depende só de y.

Passo 4

Determinar h(y) exigindo
partial Phipartial y = xy + h'(y) stackrel!= N(x,y) = xy+e^y
Isto implica
h'(y) = e^y Longrightarrow h(y) = integral e^y,dy = e^y
Logo
Phi(x,y) = sin(x) + xln(y) + e^y

Resposta

A equação é exata, e sua solução implícita geral é
boxedsin(x) + xln(y) + e^y = C,
onde C é constante de integração.

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