1. Resolva a seguinte EDO, dando a solução geral:
x^{6} d y+\left(x^{5} y-x^{7} y^{-4}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x^{6}\,dy+\bigl(x^{5}y-x^{7}y^{-4}\bigr)\,dx=0
e pede a solução geral. Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{(i) }x\text{ é variável independente e }y=y(x)\text{ é a função desconhecida;}éáéçã
\text{(ii) a equação contém }y^{-4}\text{, portanto requer }y\neq0\text{ onde a solução for válida;}çãéçãá
\text{(iii) ao dividir por }x^{6}\text{ aparecerá }1/x\text{, logo é conveniente trabalhar em intervalos onde }x\neq0.áé
A missão é encontrar a solução geral y(x) (com constante arbitrária) válida em intervalos onde a equação faz sentido.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: escrever a EDO na forma explícita \dfrac{dy}{dx}=\cdots. Dividindo toda a equação por x^{6} (válido quando x\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = x\,y^{-4}.
Mostro a conta: \dfrac{x^{6}dy}{x^{6}}=dy e \dfrac{x^{5}y-x^{7}y^{-4}}{x^{6}}=\dfrac{x^{5}y}{x^{6}}-\dfrac{x^{7}y^{-4}}{x^{6}}=\dfrac{y}{x}-x\,y^{-4}. Passando o termo para o outro lado obtemos a forma acima.

Passo 3

Agora explico o método que vamos usar (com calma e passo a passo): esta é uma equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli tem a forma geral
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x e n é um número real. A técnica padrão para Bernoulli é fazer a substituição
z=y^{\,1-n},
porque com essa substituição a equação não-linear transforma-se numa equação linear em z. No nosso caso identificamos
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x,\qquad n=-4.
Logo 1-n=1-(-4)=5 e vamos escolher a substituição
z=y^{5}.

Passo 4

Vamos relacionar dz/dx com dy/dx. Como z=y^{5} temos, por derivação,
\frac{dz}{dx}=5\,y^{4}\,\frac{dy}{dx}.
Daí tiramos
y^{4}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5}\frac{dz}{dx}.
Multiplicando a equação \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = x y^{-4} por y^{4} (válido para y\neq0) obtemos
y^{4}\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y^{5} = x.
Substituindo y^{4}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{5}\dfrac{dz}{dx} e y^{5}=z resulta
\frac{1}{5}\frac{dz}{dx} + \frac{1}{x}z = x.
Multiplicando por 5 para ficar mais limpo:
\frac{dz}{dx} + \frac{5}{x}z = 5x.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem em z:
\frac{dz}{dx} + \frac{5}{x}z = 5x.
Lembrando o método do fator integrante: para uma equação \dfrac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x) o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Aqui P(x)=5/x, então
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int \frac{5}{x}\,dx\Bigr)=\exp(5\ln|x|)=|x|^{5}.
Para trabalhar mais simplesmente (e porque o sinal absoluto pode ser incorporado na constante de integração), usamos \mu(x)=x^{5} lembrando que estamos em um intervalo onde x\neq0. Multiplicando a equação por x^{5} obtemos
x^{5}\frac{dz}{dx} + 5x^{4}z = 5x^{6},
que é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}z\bigr)=5x^{6}.
Integramos em x:
x^{5}z = \int 5x^{6}\,dx = \frac{5}{7}x^{7} + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Dividindo por x^{5} obtemos
z = \frac{5}{7}x^{2} + Cx^{-5}.

Passo 6

Voltamos à variável original y usando z=y^{5}. Assim
y^{5} = \frac{5}{7}x^{2} + Cx^{-5}.
Tomando a quinta raiz (a raiz ímpar preserva sinal, então não há ambiguidade de sinal além do que já vem da expressão do lado direito) obtemos a solução geral
y(x)=\left(\frac{5}{7}x^{2} + Cx^{-5}\right)^{1/5},
onde C é constante arbitrária real. Lembre-se: a solução é válida em intervalos onde x\neq0 e onde o lado direito não produz y=0 (pois a equação original contém y^{-4}); em termos práticos, escolhemos intervalos em que a função dentro da quinta-potença não se anula ou, se anular em pontos isolados, tratamos cada intervalo separado.

Resposta

y(x)=\left(\frac{5}{7}x^{2} + Cx^{-5}\right)^{1/5},\qquad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados