- Resolva a seguinte EDO, dando a solução geral:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Informações relevantes que o enunciado fornece:
A missão é encontrar a solução geral
(com constante arbitrária) válida em intervalos onde a equação faz sentido.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: escrever a EDO na forma explícita
. Dividindo toda a equação por
(válido quando
) obtemos
Mostro a conta:
e
. Passando o termo para o outro lado obtemos a forma acima.
Passo 3
Agora explico o método que vamos usar (com calma e passo a passo): esta é uma equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli tem a forma geral
onde
e
são funções conhecidas de
e
é um número real. A técnica padrão para Bernoulli é fazer a substituição
porque com essa substituição a equação não-linear transforma-se numa equação linear em
. No nosso caso identificamos
Logo
e vamos escolher a substituição
Passo 4
Vamos relacionar
com
. Como
temos, por derivação,
Daí tiramos
Multiplicando a equação
por
(válido para
) obtemos
Substituindo
e
resulta
Multiplicando por
para ficar mais limpo:
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem em
:
Lembrando o método do fator integrante: para uma equação
o fator integrante é
Aqui
, então
Para trabalhar mais simplesmente (e porque o sinal absoluto pode ser incorporado na constante de integração), usamos
lembrando que estamos em um intervalo onde
. Multiplicando a equação por
obtemos
que é a derivada do produto:
Integramos em
:
onde
é a constante arbitrária de integração. Dividindo por
obtemos
Passo 6
Voltamos à variável original
usando
. Assim
Tomando a quinta raiz (a raiz ímpar preserva sinal, então não há ambiguidade de sinal além do que já vem da expressão do lado direito) obtemos a solução geral
onde
é constante arbitrária real. Lembre-se: a solução é válida em intervalos onde
e onde o lado direito não produz
(pois a equação original contém
); em termos práticos, escolhemos intervalos em que a função dentro da quinta-potença não se anula ou, se anular em pontos isolados, tratamos cada intervalo separado.