Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty(-1)^n-1 (x-2)^nraiz3 n
Resp. Ic=(1,3], Rc=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de potências! O que a gente precisa encontrar é o intervalo de convergência e o raio de convergência da série:
sumn=1^+infty(-1)^n-1 (x-2)^nraiz3 n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série sum an, se o limite:
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não nos dá informação.
Aqui, nosso termo geral é:
an = (-1)^n-1 (x-2)^nraiz3 n
Vamos calcular an+1an:
an+1an = (-1)^n (x-2)^n+1raiz3 (n+1)(-1)^n-1 (x-2)^nraiz3 n = - (x-2) cdot raiznraizn+1
O valor absoluto disso é:
| an+1an | = |x-2| cdot raiznraizn+1

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty |x-2| cdot raiznraizn+1 = |x-2| cdot limn to infty raiznn+1 = |x-2| cdot 1 = |x-2|
Então, para a série convergir, precisamos que:
|x-2| < 1
Isso significa que o raio de convergência Rc é 1.

Passo 4

Com o raio de convergência conhecido, vamos encontrar o intervalo de convergência. A condição |x-2| < 1 nos diz que:
-1 < x - 2 < 1 implies 1 < x < 3
Mas precisamos verificar os pontos finais x=1 e x=3 para ver se fazem parte do intervalo.

Passo 5

Vamos testar x=1:
Substituindo na série:
sumn=1^+infty(-1)^n-1 (1-2)^nraiz3 n = sumn=1^+infty(-1)^n-1 (-1)^nraiz3 n = sumn=1^+infty -1raiz3 n
Essa série é equivalente a:
- sumn=1^+infty 1raiz3 n
Essa é uma série p com p = 1/2, que diverge porque p <= 1.
Agora, vamos testar x=3:
Substituindo na série:
sumn=1^+infty(-1)^n-1 (3-2)^nraiz3 n = sumn=1^+infty(-1)^n-1 1raiz3 n
Essa é uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos decrescem e tendem a zero, a série converge.

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência é (1,,3] e o raio de convergência é Rc = 1.

Exercícios relacionados