Considere o PVI: \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d y}=\mathrm{y}^{2} \\\ y(1)=1\end{array}\right.. Este PVI tem solução?

Passo 1

O enunciado dá um PVI para a função x em função de y:
\frac{d x}{d y} = y^2
com a “condição inicial” indicada como y(1)=1.
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e análise da condição inicial.

Passo 2

Para resolver
\frac{d x}{d y} = y^2
fazemos separação de variáveis, escrevendo d x = y^2\,d y, e integramos ambos os lados.

Passo 3

Ao integrar,
\int d x = \int y^2\,d y
obtemos a solução geral
x(y) = \frac{y^3}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

A condição inicial deveria permitir determinar C. Porém o enunciado dá y(1)=1, ou seja, informa um valor de y quando o argumento é 1. Isso não conecta com x(y), pois o PVI precisaria de algo como x(y_0)=x_0. Com y(1)=1 não existe relação para calcular C.

Passo 5

Como a condição inicial não fixa a constante de integração, o problema não está bem formulado e não leva a uma única solução. Há, na verdade, infinitas soluções da forma
x(y)=\frac{y^3}{3}+C.

Resposta

Não há solução única pois a condição inicial y(1)=1 não determina a constante de integração.

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