Considere o PVI x y^{\prime}=2 y, y(a)=b. Avalie a existência e unicidade da solução em cada um dos seguintes casos:
a=0 e b, 0 ;

Passo 1

O enunciado pede para analisar existência e unicidade da solução do PVI
x\,y' = 2y,\qquad y(a)=b
quando a=0, em dois subcasos: (i) b\neq0 e (ii) b=0.
O conteúdo é teoria de existência e unicidade para EDOs de primeira ordem, usando o Teorema de Picard‐Lindelöf, e também a resolução explícita da EDO (quando possível).

Passo 2

Reescrevemos a EDO, para x\neq0, como forma normal
y' = \frac{2}{x}\,y.
Aqui a função f(x,y)=\tfrac{2}{x}y e sua derivada em y, \partial f/\partial y=2/x, não são contínuas em x=0. Logo o Teorema de Picard‐Lindelöf não se aplica em torno de x=0. Isto já indica que x=0 é ponto singular e podemos ter problemas de existência ou unicidade aí.

Passo 3

Vamos encontrar a solução geral válida para x\neq0. É EDO separável:
\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{2}{x}\,dx \;\Longrightarrow\; \ln|y| = 2\ln|x| + C_1 \;\Longrightarrow\; y = C\,x^2,
onde C=e^{C_1} é constante arbitrária. Essa é a forma geral em qualquer intervalo que não contenha x=0.

Passo 4

Caso a=0 e b\neq0:
o PVI exige
y(0)=b\neq0,
mas a solução geral manda
y(0)=C\cdot0^2=0
para qualquer C\in\mathbb{R}. Não há constante C que produza y(0)=b\neq0.
Portanto, não existe solução que passe por (0,b) com b\neq0.

Passo 5

Caso a=0 e b=0:
o PVI exige
y(0)=0,
e de fato qualquer função y(x)=C\,x^2 satisfaz y(0)=0. Há, portanto, infinitas soluções (uma para cada C). Em particular, a solução trivial y\equiv0 é só uma delas. Isso mostra falha de unicidade.

Resposta

Para a=0 e b\neq0: não existe solução.
Para a=0 e b=0: existem infinitas soluções (não há unicidade).

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