Considere o PVI
. Avalie a existência e unicidade da solução em cada um dos seguintes casos:
e b, 0 ;
Passo 1
O enunciado pede para analisar existência e unicidade da solução do PVI
quando
, em dois subcasos: (i)
e (ii)
.
O conteúdo é teoria de existência e unicidade para EDOs de primeira ordem, usando o Teorema de Picard‐Lindelöf, e também a resolução explícita da EDO (quando possível).
O conteúdo é teoria de existência e unicidade para EDOs de primeira ordem, usando o Teorema de Picard‐Lindelöf, e também a resolução explícita da EDO (quando possível).
Passo 2
Reescrevemos a EDO, para
, como forma normal
Aqui a função
e sua derivada em
,
, não são contínuas em
. Logo o Teorema de Picard‐Lindelöf não se aplica em torno de
. Isto já indica que
é ponto singular e podemos ter problemas de existência ou unicidade aí.
Passo 3
Vamos encontrar a solução geral válida para
. É EDO separável:
onde
é constante arbitrária. Essa é a forma geral em qualquer intervalo que não contenha
.
Passo 4
Caso
e
:
o PVI exige
o PVI exige
mas a solução geral manda
para qualquer
. Não há constante
que produza
.
Portanto, não existe solução que passe por com
.
Portanto, não existe solução que passe por
Passo 5
Caso
e
:
o PVI exige
o PVI exige
e de fato qualquer função
satisfaz
. Há, portanto, infinitas soluções (uma para cada
). Em particular, a solução trivial
é só uma delas. Isso mostra falha de unicidade.
Resposta
Para
e
: não existe solução.
Para e
: existem infinitas soluções (não há unicidade).
Para