a) ( 3 pontos) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (-4,3) e (4,-1).
b) ( 2 pontos) Determine o domínio e a imagem da função assim determinada.
c) ( \mathbf{2} pontos) Trace o gráfico correspondente.
d) (1 ponto) Essa função é bijetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) achar a equação da reta que passa pelos pontos (-4,3) e (4,-1);
– (b) determinar o domínio e a imagem da função definida por essa reta;
– (c) traçar o gráfico;
– (d) verificar se é bijetora.
Conteúdo: equação da reta (forma ponto-inclinação e forma reduzida), domínio e imagem de função afin, monotonicidade e bijetividade.

Passo 2

Calcular o coeficiente angular m da reta:
Usando
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{4 - (-4)} = \frac{-4}{8} = -\tfrac12.

Passo 3

Determinar a equação na forma reduzida y = mx + b.
Como m=-\tfrac12, basta achar b tal que a reta passe, por exemplo, por (-4,3):
3 = -\tfrac12\cdot(-4) + b \quad\Longrightarrow\quad 3 = 2 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 1.
Logo a equação é
y = -\tfrac12 x + 1.

Passo 4

Domínio e imagem da função f(x) = -\tfrac12 x + 1:
– Como é uma função polinomial de grau 1, ela está definida para todo x\in\mathbb{R}.
– Como o coeficiente angular -\tfrac12\neq0, o valor de y percorre todo \mathbb{R}.
Portanto
\text{Domínio} = \mathbb{R}, \quad \text{Imagem} = \mathbb{R}.í

Passo 5

Para traçar o gráfico:
  1. Marque o ponto (-4,3).
  2. Marque o ponto (4,-1).
  3. Desenhe a reta que passa por esses dois pontos e estenda-a com setas para as duas extremidades.
  4. Note que ela intercepta o eixo y em (0,1) e o eixo x em \bigl(2,0\bigr).

Passo 6

Verificar bijetividade:
– Injetividade: como o coeficiente angular é não nulo, f é estritamente monotônica (decrescente), logo não assume o mesmo valor y para dois x distintos.
– Sobrejetividade: visto que a imagem é \mathbb{R}, ela atinge todo valor real.
Assim f é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R}.

Resposta

a) \;y = -\tfrac12 x + 1.
b) \;\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R},\quad \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
c) Gráfico: reta de declive -\tfrac12 passando por (-4,3), (0,1), (2,0) e (4,-1), estendida com setas nas extremidades.
d) Sim. Como é reta de coeficiente angular não nulo, é estritamente monotônica (decrescente) e sua imagem é \mathbb{R}, logo é bijetora.

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