Considere o PVI
Mostre que a sequência obtida converge para a solução
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao aplicar o método de aproximações sucessivas (Picard) ao PVI
a sequência gerada converge para a solução exata. Vamos usar teoria de existência e unicidade e o esquema de Picard para mostrar isso.
Passo 2
Definimos a primeira aproximação como a função inicial
e, em geral, o passo de Picard é dado por
Como
, fica
Passo 3
Vamos calcular os primeiros termos para identificar um padrão:
- Para
: - Para
: - Para
:
Observamos que parece valer
Passo 4
Para provar o padrão por indução, notamos que para
já vimos
. Supondo que
, então
Fazendo a integral termo a termo, obtemos
confirmando o padrão.
Passo 5
Como a série de Maclaurin
$$\sum_{k=1}{\infty}\frac{t{2k}}{k!}=e{t2}-1
$
t
y_n(t)$ converge ponto a ponto (e até uniformemente em intervalos limitados) para
, que é a única solução do PVI. Isso finaliza a demonstração.