Considere o PVI
Mostre que a sequência obtida converge para a solução l y^prime=2 t(y+1) y(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao aplicar o método de aproximações sucessivas (Picard) ao PVI y'=2t(y+1)y(0)=0,a sequência gerada converge para a solução exata. Vamos usar teoria de existência e unicidade e o esquema de Picard para mostrar isso.

Passo 2

Definimos a primeira aproximação como a função inicial y0(t)=0 e, em geral, o passo de Picard é dado por yn+1(t)=y(0)+integral0^t2sl(yn(s)+1r),dsComo y(0)=0, fica yn+1(t)=integral0^t2sl(yn(s)+1r),ds

Passo 3

Vamos calcular os primeiros termos para identificar um padrão:
  • Para n=0: y1(t)=integral0^t2s(0+1),ds=integral0^t2s,ds=t^2
  • Para n=1: y2(t)=integral0^t2s(s^2+1),ds=integral0^t(2s^3+2s),ds=t^42+t^2
  • Para n=2: y3(t)=integral0^t2sl(s^42+s^2+1r),ds=integral0^tl(s^5+2s^3+2sr),ds=t^66+t^42+t^2
    Observamos que parece valer
    yn(t)=sumk=1^nt^2kk!

Passo 4

Para provar o padrão por indução, notamos que para n=1 já vimos y1(t)=t^2=tfract^2cdot11!. Supondo que yn(t)=sumk=1^ntfract^2kk!, então
yn+1(t)=integral0^t2sl(sumk=1^ns^2kk!+1r),ds=integral0^tsumk=0^n2s^2k+1k!,ds
Fazendo a integral termo a termo, obtemos
yn+1(t)=sumk=0^nt^2(k+1)(k+1)!=sumj=1^n+1t^2jj!,
confirmando o padrão.

Passo 5

Como a série de Maclaurin
$$\sum_{k=1}{\infty}\frac{t{2k}}{k!}=e{t2}-1
$ sumk=1^inftyt^2kk!=e^t^2-1 ét tíy_n(t)$ converge ponto a ponto (e até uniformemente em intervalos limitados) para yn(t), que é a única solução do PVI. Isso finaliza a demonstração.

Resposta

y=e^t^2-1

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