Considere o PVI
Construa a sequência das aproximações sucessivas de Picard para resolvê-lo.

Passo 1

Estamos com o PVI y'=2t(y+1), y(0)=0. O conteúdo aqui é o método de aproximações sucessivas de Picard para EDOs. Para resolver, vamos reescrever o PVI como uma integral e aplicar o esquema iterativo de Picard.

Passo 2

A formulação integral do PVI é dada por
y(t)=y(0)+integral0^t f(s,y(s)),ds
onde f(t,y)=2t(y+1). No método de Picard definimos uma sequência
yn+1(t)=y(0)+integral0^t2sl(yn(s)+1r),ds
começando por uma aproximação inicial y0(t)=y(0)=0.

Passo 3

Usando y0(t)=0 temos
y1(t)=integral0^t2s(0+1),ds=integral0^t2s,ds=t^2
Em seguida
y2(t)=integral0^t2sl(y1(s)+1r),ds=integral0^t2s(s^2+1),ds=t^42+t^2

Passo 4

Para consolidar o padrão, calculemos y3(t):
y3(t)=integral0^t2sl(y2(s)+1r),ds=integral0^t2sl(s^42+s^2+1r),ds=t^66+t^42+t^2
Dá para ver que surgem potências pares de t divididas pelo fatorial do expoente/2.

Passo 5

Observando y1,y2,y3, conjecturamos por indução que
yn(t)=sumk=1^nt^2kk!
De fato, ao inserir essa expressão na integral de Picard obtém-se a soma de cada termo subsequente.

Passo 6

No limite ntoinfty reconhecemos a série de Taylor de e^t^2-1. Logo, a sequência de aproximações de Picard converge para
y(t)=e^t^2-1

Resposta

A sequência de Picard é dada por
yn(t)=sumk=1^nt^2kk!,
e converge para y(t)=e^t^2-1.

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