Considere o PVI
Construa a sequência das aproximações sucessivas de Picard para resolvê-lo.
Passo 1
Estamos com o PVI
,
. O conteúdo aqui é o método de aproximações sucessivas de Picard para EDOs. Para resolver, vamos reescrever o PVI como uma integral e aplicar o esquema iterativo de Picard.
Passo 2
A formulação integral do PVI é dada por
onde
. No método de Picard definimos uma sequência
começando por uma aproximação inicial
.
Passo 3
Usando
temos
Em seguida
Passo 4
Para consolidar o padrão, calculemos
:
Dá para ver que surgem potências pares de
divididas pelo fatorial do expoente/2.
Passo 5
Observando
, conjecturamos por indução que
De fato, ao inserir essa expressão na integral de Picard obtém-se a soma de cada termo subsequente.
Passo 6
No limite
reconhecemos a série de Taylor de
. Logo, a sequência de aproximações de Picard converge para
Resposta
A sequência de Picard é dada por
e converge para
.