Dada a EDO y^prime prime+4 y=0, determine sua solução geral. As soluções

Passo 1

A EDO dada é y’’ + 4 y = 0. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}, pois para EDOs lineares de coeficientes constantes isso transforma derivadas em potências de r. Substituindo na equação y’’ + 4 y = 0, obtemos a equação característica:
r^2 + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo r^2 + 4 = 0 temos as raízes complexas
r = pm 2,i
Quando as raízes são imaginárias conjugadas pm b i, a solução geral real é dada pelos senos e cossenos.

Passo 4

Aplicando a fórmula para raízes r = pm 2i, a solução geral fica:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Resposta

A solução geral é y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x).

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