Determine as primeiras três iteradas das aproximações sucessivas de Picard correspondentes a:
Passo 1
O exercício trata da equação diferencial
com condição inicial
, e vamos usar o método de aproximações sucessivas (Picard). Precisamos lembrar que a regra de Picard define uma sequência de funções
por
começando com um palpite inicial
.
Passo 2
Começando com
, calculamos
Passo 3
Para obter
, usamos
dentro da integral:
Expandindo
Expandindo
e então
Passo 4
Para
, inserimos o polinômio de grau 7 obtido em
dentro de
Fazendo a expansão de
termo a termo até
e integrando cada monômio, chegamos ao polinômio de grau 15:
Resposta
As três primeiras iteradas são:
(y_3(t) = 1 + t + t^2 + \tfrac{4}{3}t^3 + \tfrac{5}{6}t^4 + \tfrac{8}{15}t^5 + \tfrac{29}{90}t^6 + \tfrac{47}{315}t^7 + \tfrac{41}{630}t^8 + \tfrac{167}{5670}t^9 + \tfrac{4}{525}t^{10} + \tfrac{184}{51975}t^{11} + \tfrac{1}{2268}t^{12} + \tfrac{4}{12285}t^{13} + \tfrac{1}{59535}t^{15}.