Determine as primeiras três iteradas das aproximações sucessivas de Picard correspondentes a:

Passo 1

O exercício trata da equação diferencial y'=t^2 + y^2 com condição inicial y(0)=1, e vamos usar o método de aproximações sucessivas (Picard). Precisamos lembrar que a regra de Picard define uma sequência de funções yn(t) por
yn+1(t) = 1 + integral0^t l(s^2 + [yn(s)]^2r),ds,
começando com um palpite inicial y0(t)=1.

Passo 2

Começando com y0(t)=1, calculamos
y1(t) = 1 + integral0^tl(s^2 + 1^2r),ds = 1 + integral0^tl(s^2 + 1r)ds = 1 + l[tfracs^33 + sr]0^t = 1 + t + tfract^33

Passo 3

Para obter y2(t), usamos y1(s)=1 + s + tfracs^33 dentro da integral:
Expandindo
[1 + s + tfracs^33]^2 = 1 + 2s + s^2 + tfrac23s^3 + tfrac23s^4 + tfracs^69,
e então
y2(t) = 1 + integral0^tl(s^2 + 1 + 2s + s^2 + tfrac23s^3 + tfrac23s^4 + tfracs^69r)ds = 1 + t + t^2 + tfrac23t^3 + tfrac16t^4 + tfrac215t^5 + tfrac163t^7

Passo 4

Para y3(t), inserimos o polinômio de grau 7 obtido em y2(s) dentro de
y3(t) = 1 + integral0^tl(s^2 + [y2(s)]^2r)ds
Fazendo a expansão de [y2(s)]^2 termo a termo até s^14 e integrando cada monômio, chegamos ao polinômio de grau 15:
y3(t) = 1 + t + t^2 + tfrac43t^3 + tfrac56t^4 + tfrac815t^5 + tfrac2990t^6 + tfrac47315t^7 + tfrac41630t^8 + tfrac1675670t^9 + tfrac4525t^10 + tfrac18451975t^11 + tfrac12268t^12 + tfrac412285t^13 + tfrac159535t^15

Resposta

As três primeiras iteradas são:
y1(t) = 1 + t + tfract^33,
y2(t) = 1 + t + t^2 + tfrac23t^3 + tfrac16t^4 + tfrac215t^5 + tfrac163t^7,
(y_3(t) = 1 + t + t^2 + \tfrac{4}{3}t^3 + \tfrac{5}{6}t^4 + \tfrac{8}{15}t^5 + \tfrac{29}{90}t^6 + \tfrac{47}{315}t^7 + \tfrac{41}{630}t^8 + \tfrac{167}{5670}t^9 + \tfrac{4}{525}t^{10} + \tfrac{184}{51975}t^{11} + \tfrac{1}{2268}t^{12} + \tfrac{4}{12285}t^{13} + \tfrac{1}{59535}t^{15}.

Exercícios relacionados