Considere o PVI
Observe que a solução
é obtida da família de soluções do ítem anterior, tomando-se
. Mostre que não há escolha de
que dê a solução
.
Passo 1
O PVI é dado por
com
. Do item anterior temos uma família de soluções gerais
que dependem de um parâmetro
. Vamos ver por que a segunda solução
não se obtém para nenhum valor de
.
Passo 2
Começamos relembrando a família de soluções do item anterior. Definindo
, injetamos na EDO e achamos que, sempre que
, vale
. Integrando,
. Voltando a
,
Passo 3
Portanto a família geral é uma função linear de
:
Passo 4
Agora considere a solução singular
. Para que ela estivesse na mesma família, teríamos que ter
Passo 5
isto é, um polinômio de grau 1 (o lado esquerdo) sendo igual a um polinômio de grau 2 (o lado direito) para todo
. Isso só seria possível se os coeficientes de
, de
e o termo independente coincidissem, mas do lado esquerdo não há
. Logo não há nenhum
que faça essa identidade.
Passo 6
Como não conseguimos igualar o termo em
, concluímos que
não pertence à família
para nenhum valor real de
.
Resposta
Não existe nenhum valor de
que faça a solução
coincidir com
.